图

几何光学中一个重要极限

预备知识 泰勒级数

   该近似最常用于波动理论, 如光的远场干涉衍射.

\begin{equation} \abs{\bvec r - \bvec r_0} = r - \uvec r \vdot \bvec r_0 = r - r_0 \cos\theta \end{equation}
$\theta$ 为 $\bvec r$ 与 $\bvec r_0$ 的夹角. 这个近似的误差远小于 $r_0$.

   该近似的几何意义是, 若三角形的两条边远长于第三条, 那么这两条边的长度差等于第三条在任意一条临边上的投影.

推导

   令 $\varepsilon = r_0 / r$, $\uvec r \vdot \uvec r_0 = \cos\theta$, 该命题变为证明

\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{r_0} \qtySquare{\abs{\bvec r - \bvec r_0} - (r - r_0 \cos\theta)} = 0 \end{equation}
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{r_0} \qtySquare{\sqrt{r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos\theta} - (r - r_0 \cos\theta)} = 0 \end{equation}
把一个 $r$ 提出中括号外, 得
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \qtySquare{\sqrt{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon\cos\theta} - (1 - \varepsilon \cos\theta)} = 0 \end{equation}
现在把根号对 $\varepsilon$ 进行泰勒展开, 保留其一阶无穷小, 得
\begin{equation} \sqrt{1 + \varepsilon^2 - 2\varepsilon\cos\theta} = 1 - \varepsilon \cos\theta + \order{\varepsilon^2} \end{equation}
代入得
\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac1\varepsilon \order{\varepsilon^2} = \lim_{\varepsilon \to 0} \order{\varepsilon} = 0 \end{equation}
证毕.

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