图

Gauss-Lobatto 积分

   Gauss-Lobatto 积分中令采样点(包括两个端点)的个数为 $N$, 如果被积函数是 $2N-3$ 阶多项式($f(x) = x^{2n-3} + \dots$), 则积分没有误差.

   注意 Gauss-Lobatto 积分是对称的

\begin{equation} x_j = -x_{N-j+1} \qquad w_{0j} = w_{0,N-j+1} \end{equation}

正交归一基底

   每个基底都是 $N-1$ 阶多项式, 由于阶数和零点数一样, 多项式可以唯一确定, 即拉格朗日插值多项式

\begin{equation} \ali{ p_n(x) &= \prod_{i=1}^{n-1} \frac{x-x_i}{x_n-x_i} \prod_{i=n+1}^{N} \frac{x-x_i}{x_n-x_i}\\ &= \frac{x-x_1}{x_n-x_1} \times\dots\times\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}\frac{x-x-{n+1}}{x_n-x_{n+1}} \dots \frac{x-x_N}{x_n-x_N} }\end{equation}
\begin{equation} p_n(x_{n'}) = \delta_{n, n'} \end{equation}

   由于任意两个基底乘积只是 $2N-2$ 阶的多项式, 所以可以用求和精确代替其积分.

\begin{equation} \int_{-1}^1 p_i(x) p_j(x) \dd{x} = \sum_k w_k p_i(x_k) p_j(x_k) = w_i \delta_{ij} \end{equation}

   所以 $N$ 个正交归一基底就是

\begin{equation} f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{w_n}} p_n(x) \end{equation}
满足
\begin{equation} f_i(x_j) = \frac{1}{\sqrt{w_i}} \delta_{ij} \end{equation}

   另一种等效的表示方法是利用 $N$ 阶 Gauss-Lobatto 数值积分对应的多项式, $N-1$ 阶勒让德多项式的导数, $P'_{N-1}(y)$, 来构建满足条件的多项式.根据定义,其 $N-2$ 个零点分别为 $y_2, y_3\dots y_{N-1}$, 为了加入 $y_1=-1$ 与 $y_n=1$ 这两个零点,将其变为 $N$ 阶多项式

\begin{equation} (1-y^2)P'_{N-1}(y) \end{equation}
然而,式 1 要求 $p_n(y_n)=1$, 所以我们将式 7 除以它自己在 $y_n$ 处的切线,在 $y=y_n$ 处形成极限类型 $0/0=1$ 即可得到 阶多项式 $u_n(y)$.
\begin{equation} u_n(y) = \frac{(1-y^2)P'_{N-1}(y)}{[(1-y^2)P'_{N-1}(y)]'_y} = y_n (y-y_n) \end{equation}
该式与式 2 事实上是完全相同的多项式,因为所有具有 $N-1$ 个零点的 $N-1$ 阶多项式都可以因式分解成式 2 的形式乘以一个待定常数.用式 8 便于快速地展开多项式(因为勒让德多项式的系数可以直接通过公式计算).

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