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功 功率

预备知识 矢量的内积,定积分
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图1:在一小段位移中,把变力看做恒力

   如图 1 ,当质点沿着曲线运动时,有一个力作用在其上, 当质点的位置为 $\bvec r$ 时,力为 $\bvec F(\bvec r)$. 下面求质点从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中,力对质点的做功.

   把从 $A$ 到 $B$ 这段曲线看成由许多小位移 $\Delta \bvec r_1, \Delta \bvec r_2 \dots \Delta \bvec r_n$ 组成, 对其中第 $i$ 个进行分析. 由于 $\Delta \bvec r_i$ 很短,质 点经过 $\Delta \bvec r_i$ 的过程中位矢 $\bvec r$ 几乎不变,记为常矢量 $\bvec r_i$. 在这小段中, $\bvec F(\bvec r)$ 也可以近似看成是恒力 $\bvec F(\bvec r_i)$.

   现在把 $\bvec F(\bvec r_i)$ 分解成垂直于 $\Delta \bvec r_i$ 和平行于 $\Delta \bvec r_i$ 的两个正交分量,其中垂直分量不做功,平行分量的大小为 $ \abs{\bvec F(\bvec r_i)} \cos \theta_i$, 该分量做功大小为

\begin{equation} \Delta W_i = \abs{\bvec F(\bvec r_i)} \abs{\Delta \bvec r_i} \cos \theta_i \end{equation}
上式可以表示成矢量内积的形式
\begin{equation} \Delta W_i = \bvec F(\bvec r_i) \vdot \Delta \bvec r_i \end{equation}
把上式对所有的 $i$ 求和,就得到了做功的近似表达式
\begin{equation} W_{ab} = \sum_{i = 1}^n \Delta W_i \approx \sum_{i = 1}^n \bvec F(\bvec r_i) \vdot \Delta \bvec r_i \end{equation}
事实上,当曲线分割的越细,即 $n$ 越大时,上式就越精确地成立.类比定积分中的介绍,令 $n \to \infty $, 把求和符号换成积分符号,把表示增量的 $\Delta $ 换成微分符号 $\dd{}$, 则不等号可以变为等号.
\begin{equation} W_{ab} = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \bvec F(\bvec r_i) \vdot \Delta \bvec r_i = \int_{C_{ab}} \bvec F(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}
不同于一元函数的积分,这一类特殊的积分叫做线积分,详见“线积分”.

力的功率

   功率(瞬时)的定义为做功的变化率,即

\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \dvTwo{W}{t} \end{equation}
根据式 2 ,力的功率为
\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\bvec F(\bvec r_i)\vdot\Delta\bvec r_i}{\Delta t_i} = \bvec F \vdot\dvTwo{\bvec r}{t} = \bvec F\vdot\bvec v \end{equation}

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