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基本初等函数的导数

预备知识 导数

基本初等函数

   基本初等函数由以下五类函数构成 ($a$ 是常数)

   由以上函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如

\begin{equation} y = \sqrt{1 - x^2}\qquad y = \sin ^2 x\qquad y = \sqrt{\cot \frac{x}{2}} \end{equation}

基本初等函数的导数

   基本初等函数在其定义域内都是可导的,导函数如下\\ 幂函数

\begin{equation} (x^a)' = a x^{a - 1} \quad (a \in R) \end{equation}
三角函数
\begin{equation} \sin' x = \cos x \qquad \cos' x = - \sin x \qquad \tan'x = 1/\cos ^2 x = \sec ^2 x \end{equation}
指数函数
\begin{equation} (a^x)' = \lnRound{a} a^x \end{equation}
特殊地,$(\E^x)' = \E^x$\\ 对数函数
\begin{equation} (\log_a x)' = \frac{1}{\lnRound{a}x} \end{equation}
特殊地,$\ln' x= 1/x$.

幂函数证明

   由导数的代数定义, $f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} [f(x + h) - f(x)]/h$,而

\begin{equation} (x + h)^a - x^a = x^a [(1 + h/x)^a - 1] \end{equation}
由于 $h \to 0$, $h/x \to 0$. 令 $\varepsilon = h/x$, 由非整数二项式定理
\begin{equation} (1 + \varepsilon)^a = 1 + a\varepsilon + \frac{a(a - 1)}{2!} \varepsilon ^2 + \frac{a(a - 1)(a - 2)}{3!} \varepsilon ^3\dots \end{equation}
所以
\begin{equation} \ali{ (x^a)' &= x^a \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{( 1 + \varepsilon )^a - 1}{\varepsilon x} \\ &= x^{a - 1} \lim_{\varepsilon \to 0} \qtyRound{ a + \frac{a(a - 1)}{2!}\varepsilon + \frac{a (a - 1)(a - 2)}{3!}{\varepsilon ^2}\dots } = a x^{a - 1} }\end{equation}

正弦函数证明

   使用三角函数和差化积公式化简极限

\begin{equation} \sin'x = \lim_{h \to 0} \frac{\sinRound {x + h} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sinRound {h/2}}{h/2}\cosRound{ x + \frac{h}{2}} \end{equation}
由小角正弦值极限中的结论,其中
\begin{equation} \lim_{h \to 0} \frac{\sinRound {h/2}}{h/2} = 1 \end{equation}
所以
\begin{equation} \sin'x = \lim_{h \to 0}\cosRound{ x + \frac{h}{2}} = \cos x \end{equation}

余弦函数证明

   若 $f'(x) = g(x)$, 且 $b$ 为任意常数,根据导数的定义 $f'(x + b) = g(x + b)$ 同样成立(证明略).所以 $\sin'(x + \pi/2) = \cosRound{x + \pi/2}$. 而 $\sinRound{x + \pi/2} = \cos x$, $\cosRound{x + \pi/2} = - \sin x$ 所以 $\cos' x = - \sin x$

正切函数证明

   根据求导法则,因为 $\tan x = \sin x/\cos x$, 所以

\begin{equation} \tan' x = \frac{\sin' x \cos x - \cos' x\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos ^2 x} = \sec ^2 x \end{equation}

对数函数证明

   先证明 $\ln' x = {1}/{x}$. $\lnRound{x + h} - \ln x = \lnRound{1 + h/x}$, 所以

\begin{equation} \ln 'x = \lim_{h \to 0} \frac{\lnRound{x + h} - \ln x}{h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \frac{\lnRound{1 + h/x}}{h/x} \end{equation}
令 $\varepsilon = h/x$, 则
\begin{equation} \ln' x = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\lnRound{1 + \varepsilon}}{\varepsilon } = \frac{1}{x} \lim_{\varepsilon \to 0} \lnRound{1 + \varepsilon}^{\frac{1}{\varepsilon }} \end{equation}

   由自然对数底的定义, $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} (1 + \varepsilon)^{\frac{1}{\varepsilon }} = \E$, 所以

\begin{equation} \ln 'x = \frac{\ln \E}{x} = \frac{1}{x} \end{equation}
再证明 $\log'_a x = {1}/(x\ln a)$. 由对数函数的性质 $\log_a b = \ln b/\ln a$
\begin{equation} \log'_a x = \qtyRound{\frac{\ln x}{\ln a}}' = \frac{1}{\ln a}\ln' x = \frac{1}{x\ln a} \end{equation}

指数函数证明

   先证明 $(\E^x)' = \E^x$. 由于上面已经证明了 $ \ln'x = 1/x$, 而 $\E^x$ 是 $\ln x$ 的反函数. 所以令 $f(x) = \ln x$, $f'(x) = 1/x$, $f^{ - 1} (x) = \E^x$, 代入反函数的求导法则

\begin{equation} [f^{-1} (x)]' = \frac{1}{f'[f^{ - 1}(x)]} \end{equation}
\begin{equation} (\E^x)' = \frac{1}{1/\E^x} = \E^x \end{equation}
再证明 $(a^x)' = a^x \ln a$. $(a^x)' = \qtySquare{ \qtyRound{ \E^{\ln a} }^x }' = \qtyRound{ \E^{(\ln a) x} }'$. 把 $\E^{(\ln a) x}$ 看成是 $\E^u$ 和 $u = (\ln a) x$ 的复合函数,根据复合函数的求导法则 ,$(a^x)' = (\ln a) a^x$

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