图

傅科摆

预备知识 单摆

   傅科摆是首个直接证明地球自转的实验. 试想如果把一个不受任何阻力的单摆放在地球的北极, 那么地球每自转一定角度, 单摆的摆平面不变, 所以以地球为参考系观察, 摆平面将反方向转动, 这样就能证明地球在自转. 现实中, 为了能克服阻力和微扰长时间摆动, 通常使用质量较大, 摆臂较长的摆作为傅科摆.

   但若傅科摆被放在北纬 $\alpha$ 角处, 摆平面的将会以怎样的角速度转动呢? 事实证明, 若令地球自转的角速度为 $\omega_0$, 则单摆相对地面转动的角速度 $\omega$ 将等于

\begin{equation} \omega = \omega_0 \sin\alpha \end{equation}

傅科摆角速度的一种几何推导

预备知识 矢量叉乘

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 为地心指向傅科摆的矢量, 当地纬度为 $\alpha$, 地轴指向北的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $, 显然 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} = \sin\alpha$.

   若把任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 围绕某单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} $ 以右手定则旋转角微元 $ \,\mathrm{d}{\theta} $, 有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{P}} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
开始时, 令傅科摆在最低点的速度方向的单位向量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ ($ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$), 在傅科摆下方的水平地面上标记单位向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $, 使开始时 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $. 当傅科摆随地球在准静止状态下移动位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ ($ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$)后, 由式 2 可得

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert } \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \frac{ \,\mathrm{d}{s} }{R} \end{equation}
注意这只是一个比较符合物理直觉的假设, 这里并不给出证明. 当地球转动 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 时, 上式中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} $, 而地面上的标记 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 也围绕地轴转动, 所以 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} $.

   下面计算 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } $. 因为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0$, 所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert = R \,\mathrm{d}{s} $, 所以

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{R^2} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} = \frac{1}{R^2} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} = [( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ] \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} = -\sin\alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
所以地球转过 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 角以后, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 之间的夹角为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{\gamma} = \left\lvert \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } \right\rvert = \sin\alpha \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
两边除以 $ \,\mathrm{d}{t} $ 得角速度
\begin{equation} \omega = \omega_0 \sin\alpha \end{equation}

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