图

正交函数系

预备知识 定积分

   因变量为实数的情况

   定义 给出一组函数(有限或无限多个), $f_i(x)\; (i = 1,2\dots)$, 如果满足

\begin{equation} \int_a^b f_i(x) f_i(x) \dd{x} \ne 0 \end{equation}
当整数 $m \ne n$ 时
\begin{equation} \int_a^b f_m(x) f_n(x) \dd{x} = 0 \end{equation}
那么这一组函数就是区间 $[a,b]$ 内的一个正交函数系.

   这一组函数的性质可以类比矢量的正交,“两个函数相乘再积分”这个步骤可以类比矢量的内积.如果两个不同的矢量正交(垂直),则它们的内积为零.如果它们的模长不为零,则一个矢量与自身内积不为零.

   特殊地,若给正交函数系中的每个函数的平方进行归一化,使得

\begin{equation} \int_a^b f_i(x) f_i(x) \dd{x} = 1 \end{equation}
那么该正交函数系就是归一的.其性质可以表示为
\begin{equation} \int_a^b f_m(x) f_n(x) \dd{x} = \delta_{mn} \end{equation}
其中 $\delta_{mn}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数(Kronecker Delta Function).

因变量为复数的情况

   若函数系中 $f_i(x)$ 的自变量为实数,因变量为复数,则正交的定义变为

\begin{equation} \int_a^b f_i^*(x) f_j(x) \dd{x} \ne 0 \qquad ( i \ne j ) \end{equation}
归一化的定义变为
\begin{equation} \int_a^b f_i^*(x) f_i(x) \dd{x} = 1 \end{equation}
正交归一条件可以统一写成
\begin{equation} \int_a^b f_i^*(x) f_j(x) \dd{x} = \delta_{ij} \end{equation}

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