正交函数系
贡献者： addis
1. 函数值为实数
定义
给出一组函数（有限或无限多个），$f_i(x)\; (i = 1,2\dots)$，如果满足
\begin{equation}
\int_a^b f_i(x) f_i(x) \,\mathrm{d}{x} \ne 0~.
\end{equation}
当整数 $m \ne n$ 时
\begin{equation}
\int_a^b f_m(x) f_n(x) \,\mathrm{d}{x} = 0~,
\end{equation}
那么这一组函数就是区间 $[a,b]$ 内的一个正交函数系。
这一组函数的性质可以类比矢量的正交，“两个函数相乘再积分” 这个步骤可以类比矢量的内积。如果两个不同的矢量正交（垂直），则它们的内积为零。如果它们的模长不为零，则一个矢量与自身内积不为零。
特殊地，若给正交函数系中的每个函数的平方进行归一化，使得
\begin{equation}
\int_a^b f_i(x) f_i(x) \,\mathrm{d}{x} = 1~.
\end{equation}
那么该正交函数系就是
归一的。其性质可以表示为
\begin{equation}
\int_a^b f_m(x) f_n(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{mn}~,
\end{equation}
其中 $\delta_{mn}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数
。
2. 函数值为复数
若函数系中 $f_i(x)$ 的自变量为实数，函数值为复数，则正交的定义变为
\begin{equation}
\int_a^b f_i^*(x) f_j(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{ij}~.
\end{equation}
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