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傅里叶变换与矢量空间

预备知识 傅里叶变换

   我们知道傅里叶级数 可以从矢量空间的角度理解, 而傅里叶变换可以看作傅里叶级数区间取无穷大时的极限, 所以我们以下使用一种 “幼稚” 的观点, 从矢量空间的角度来理解傅里叶变换.

   类比傅里叶级数, 我们仍然可以将傅里叶变换看作是矢量空间中两组正交归一基底之间的变换, 我们分别把他们叫做 $x$ 基底和 $k$ 基底. 若使用 $x$ 基底, 就说在 $x$ 表象下, 若用 $k$ 基底就说在 $k$ 表象下. 每个实数 $x_0$ 对应一个基底 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $, 所有的 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $ 构成 $x$ 基底. 每个实数 $k_0$ 对应一个基底 $ \left\lvert k_0 \right\rangle $, 所有的 $ \left\lvert k_0 \right\rangle $ 构成 $k$ 基底. 就像有限维空间中用 $(0, \dots , 1, \dots , 0)$ 表示一组基底的第 $i$ 个关于这组基底的坐标, 可以用 $\delta (x - x_0)$ 表示 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $ 关于所有 $x$ 基底的坐标, 用 $\delta (k - k_0)$ 表示 $ \left\lvert k_0 \right\rangle $ 关于所有 $k$ 基底的坐标.

   现在, 函数 $f(x)$ 可以看作是某个矢量 $ \left\lvert v \right\rangle $ 关于 $x$ 基底的坐标(有限维空间中的求和在无穷维空间中变为积分), 而 $g(k)$ 可以看作是 $k$ 基底的坐标1

\begin{equation} \left\lvert v \right\rangle = \int f(x_0) \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x_0} = \int g(k_0) \left\lvert k_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{k_0} \end{equation}

   矢量空间中两个矢量的内积, 在 $x$ 表象下为

\begin{equation} \begin{aligned} & \left\langle v_1 \middle| v_2 \right\rangle = \left(\int f_1(x_1) \left\lvert x_1 \right\rangle \,\mathrm{d}{x_1} \right) ^\dagger \int f_2(x_2) \left\lvert x_2 \right\rangle \,\mathrm{d}{x_2} \\ &=\iint f_1(x_1)^* f_2(x_2) \delta (x_2 - x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \\ &=\int f_1(x)^* f_2(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}
$k$ 表象同理.

   将某矢量 $ \left\lvert v \right\rangle $ 投影到基底 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $ 上, 可以验证其系数为

\begin{equation} \left\langle x_0 \middle| v \right\rangle = \int f(x) \delta (x - x_0) \,\mathrm{d}{x} = f(x_0) \end{equation}
$x$ 表象下, 可以验证 $x$ 基底的正交归一化
\begin{equation} \left\langle x_1 \middle| x_2 \right\rangle = \int \delta (x - x_1) \delta (x - x_2) \,\mathrm{d}{x} = \delta (x_2 - x_1) \end{equation}
$k$ 表象同理.

基底变换

   将傅里叶变换对应的算符记为 $\mathcal F$, 反变换记为 $\mathcal F^{-1}$. 傅里叶变换可以看成一个无穷维且连续的酋矩阵, 将同一个矢量从 $x$ 表象坐标变换到 $k$ 表象坐标. 反变换从 $k$ 表象变回 $x$ 表象. 傅里叶变换和反变换并不改变矢量 $ \left\lvert v \right\rangle $ 本身, $\mathcal F$ 是一个单位算符, 即 $\mathcal F \left\lvert v \right\rangle = \left\lvert v \right\rangle $.

   令 $ \left\lvert k_0 \right\rangle $ 基底在 $x$ 表象下的函数(即坐标)为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}/\sqrt{2\pi }$, 即

\begin{equation} \left\lvert k_0 \right\rangle = \int \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x_0}}{\sqrt{2\pi }} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x_0} \end{equation}
则基底变换矩阵的 “矩阵元” 为
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x_0 \middle| k_0 \right\rangle &= \left\langle x_0 \right\rvert \int \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x_1}}{\sqrt{2\pi }} \left\lvert x_1 \right\rangle \,\mathrm{d}{x_1} \\ &= \int \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x_1}}{\sqrt{2\pi }} \delta (x_1 - x_0) \,\mathrm{d}{x_1} = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x_0}}{\sqrt{2\pi }} \end{aligned} \end{equation}
我们将矩阵元记为 $F^*(x_0, k_0)$, 也叫做核(kernel). 两个变量就相当于矩阵的两个角标.

   该矩阵乘以 $k$ 表象的坐标, 就是 $x$ 表象的坐标, 矩阵的求和同样需要写成积分的形式

\begin{equation} f(x_0) = \int F^*(x_0, k_0) g(k_0) \,\mathrm{d}{k_0} = \int \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x_0}}{\sqrt{2\pi }} g(k_0) \,\mathrm{d}{k_0} \end{equation}
这就是反傅里叶变换.

   由于酋矩阵的厄米共轭就是它的逆矩阵, 所以逆矩阵的矩阵元为

\begin{equation} \left\langle k_0 \middle| x_0 \right\rangle = \left\langle x_0 \middle| k_0 \right\rangle ^* = \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_0 x_0}}{\sqrt{2\pi }} \end{equation}
核为 $F(k_0, x_0)$. 该矩阵乘以 $x$ 表象的坐标, 就是 $k$ 表象的坐标
\begin{equation} g(k_0) = \int F(k_0, x_0) f(x_0) \,\mathrm{d}{x_0} = \int \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_0 x_0}}{\sqrt{2\pi }} f(x_0) \,\mathrm{d}{x_0} \end{equation}
这就是傅里叶变换.

   $x$ 表象下, $k$ 基底的正交归一化可以记为

\begin{equation} \left\langle k_1 \middle| k_2 \right\rangle = \int \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_1 x}}{\sqrt{2\pi }} \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_2 x}}{\sqrt{2\pi }} \,\mathrm{d}{x} = \delta (k_2 - k_1) \end{equation}
$x$ 基底在 $k$ 表象下的正交归一也同理. 之所以说这时一种 “幼稚” 的做法, 是因为式 10 的积分(从 $-\infty $ 到 $\infty$)并不收敛, $\delta $ 函数也不是一个严格意义上的函数.

   我们就可以用以下过程在 $x$ 表象下简洁地 “证明” $f(x)$ 依次经过傅里叶变换和反变换后, 仍然可以得到 $f(x)$. 证明的矢量形式为

\begin{equation} \left\lvert v \right\rangle = \int \left\lvert k \right\rangle \left\langle k \middle| v \right\rangle \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
将各个矢量替换为 $x$ 表象的坐标, 得

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal F^{-1} [\mathcal F f(x)] &= \int \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}}{\sqrt{2\pi }} \left(\int \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x'}}{\sqrt{2\pi }} f(x') \,\mathrm{d}{x'} \right) \,\mathrm{d}{k} \\ &= \int f(x') \left(\int \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x'}}{\sqrt{2\pi }}\frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}}{\sqrt{2\pi }} \,\mathrm{d}{k} \right) \,\mathrm{d}{x'} \\ &= \int f(x') \delta (x - x') \,\mathrm{d}{x'} \\ &= f(x) \end{aligned} \end{equation}


1. 从该式可以看出表象这个词的由来, 同一个矢量, 使用不同基底后, 其坐标(即函数) $f(x)$ 和 $g(x)$ 表面上看起来不同.

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