图

傅里叶级数(指数)

预备知识 傅里叶级数(三角), 欧拉公式

   $f(x)$ 是自变量为实数的复变函数,若满足狄利克雷条件,则可展在区间 $[ - l,l]$ 展开成复数的傅里叶级数

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = - \infty }^{ + \infty } c_n \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \end{equation}
其中
\begin{equation} c_n = \frac{1}{2l} \int_{ - l}^l f(x) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时,$c_n$ 与 $c_{-n}$ 互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时,分别有 $c_{-n} = c_n$ 或 $c_{-n} = -c_n$.

推导

   类比三角傅里叶级数的情况.这时,函数基底变为

\begin{equation} f_n(x) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \quad{n \in N} \end{equation}
定义复函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的内积为
\begin{equation} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \int_{-l}^{l} f(x) ^* g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
可证明函数基底(式 3 )正交且模长为 $2l$, 用克罗内克 $\delta$ 函数表示为
\begin{equation} \left\langle f_m \middle| f_n \right\rangle = 2l \delta_{mn} \end{equation}
与三角傅里叶级数同理,可得式 1 式 2

与三角傅里叶级数的关系

   考虑到正余弦函数和复指数函数的关系

\begin{equation} \cos x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2} \qquad \sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
三角傅里叶级数的系数式 2 式 3 可以用指数傅里叶级数的系数表示
\begin{equation} \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{l}\int_{ - l}^l f( x ) \cos\left(\frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left( \mathrm{i} \frac{n\pi }{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} + \frac{1}{2l}\int_{ - l}^l f( x ) \exp\left(- \mathrm{i} \frac{n\pi}{l}x\right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= c_{-n} + c_n \end{aligned} \end{equation}
同理,
\begin{equation} \begin{aligned} b_n &= \frac{c_{-n}-c_n}{ \mathrm{i} } \end{aligned} \end{equation}
注意这里全都有 $n\geqslant 0$. 由以上两式,也可以解得
\begin{equation} c_n = \frac{a_n - \mathrm{i} b_n}{2} \qquad c_{-n} = \frac{a_n + \mathrm{i} b_n}{2} \end{equation}

实函数,奇函数,和偶函数的情况

   特殊地,当 $f(x)$ 为实函数时,由于 $a_n$ 和 $b_n$ 必定是实数,根据式 9 可知

\begin{equation} c_{-n} = c_{n} ^* \end{equation}
即正负系数互为复共轭.当 $f(x)$ 为偶函数或奇函数时, 三角傅里叶级数分别只有 $a_n$ 或 $b_n$ 不为零, 同样根据式 9 可得,两种情况分别对应
\begin{equation} c_{-n} = c_n =\frac{a_n}{2} \qquad c_{-n} = -c_n = \mathrm{i} \frac{b_n}{2} \end{equation}
由以上两式可得,如果 $f(x)$ 既是实函数又是偶函数时,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相等的实数,如果既是实函数又是奇函数,$c_n$ 和 $c_{-n}$ 是相反的纯虚数.

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