图

安培力

预备知识 洛伦兹力

   在匀强磁场中,一段笔直的细导线中通有电流 $I$, 导线的长度和正方向用矢量 $\bvec L$ 表示1,若电流与 $\bvec L$ 的方向相同则取正值,若相反则取负值.导线 $\bvec L$ 受到的安培力为

\begin{equation} \bvec F = I \bvec L \cross \bvec B \end{equation}
该式可由洛伦兹力推导,见下文.

   当磁场分布不均匀,或导线是弯曲的,可用 “微元法” 的思想,把该导线分为许多小段 然后对每小段的安培力 $\dd{\bvec F} = I\bvec \dd{L} \cross\bvec B$ 进行矢量求和,即曲线积分).

\begin{equation} \bvec F = I\int_L \dd{\bvec r} \cross \bvec B \end{equation}
$L$ 为导线所在的曲线,积分方向沿电流方向.

推导(匀强磁场中的直导线)

   假设导线中正电荷运动而负电荷不动2, 运动的正电荷线密度(单位长度的电荷量)为 $\lambda$,速度为 $\bvec v$.那么电流为

\begin{equation} I = \lambda v \end{equation}
所有运动的正电荷受到的洛伦兹力为
\begin{equation} \bvec F = q\bvec v \cross \bvec B \end{equation}
当电流方向 $\bvec v$ 与 $\bvec L$ 相同时有 $L \bvec v = v \bvec L$,此时定义电流为正,$I = \lambda v$, 相反时有 $L \bvec v = -v\bvec L$,定义电流为负,$I = -\lambda v$.所以
\begin{equation} q\bvec v = \lambda L \bvec v = \pm \lambda v\bvec L= I \bvec L \end{equation}
代入式 4
\begin{equation} \bvec F = I \bvec L \cross \bvec B \end{equation}


1. 根据电流连续性定理,电流不可能在端点凭空出现或消失,所以我们可以认为 $\bvec L$ 是一个回路中的一段.
2. 事实上是负电荷 $-\lambda$ 以 $-\bvec v$ 运动而正电荷不动,但这样假设得到的安培力相同,且方便记忆和推导.

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