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常见几何体的转动惯量

预备知识 转动惯量
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图1:常见几何体的转动惯量,虚线为转轴,物体质量 $M$ 均匀分布, $R$ 为几何体的半径或红线标注的长度.

细圆环 薄圆柱环

   细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 $R$,可以看成许多质点的叠加,每个质点转惯量为 $m_i R^2$,所以

\begin{equation} I = \sum_i m_i R^2 = M R^2 \end{equation}

细棒(端点轴)

   细棒的线密度为 $\lambda = M/L$,如果划分成长度为 $\dd{r}$ 的小段,第 $i$ 段距离转轴 $r_i$

细棒(中心轴) 薄长方体(共面轴)

   细棒(中心轴)可以看做两个等质量的细棒(端点轴),质量都为 $M_1$,每个具有转动惯量 $M_1 R^2/3$, 总转动惯量为 $2M_1 R^2/3=MR^2/3$.由此可以看出,若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分,那么转动惯量公式不变.薄长方体(共面轴)可以看成许多细棒(中心轴)组成,所以转动惯量的系数仍然为 $1/3$. 注意一些教材中使用细棒的总长度 $L=2R$, 则转动惯量为

\begin{equation} I = \frac{1}{12}ML^2 \end{equation}

薄圆盘 圆柱

   薄圆盘可以看做许多宽度为 $\dd{r}$ 的细圆环组成1,质量面密度为 $\sigma = M/(\pi R^2)$,第 $i$ 个圆环的半径为 $r_i$,面积为 $2\pi r_i \dd{r}$,总转动惯量为

\begin{equation} I = \sum_i r_i^2 \dd{m_i} = \sum_i r_i^2 \cdot \sigma \cdot 2\pi {r_i} \dd{r} = 2\pi \sigma \sum_i r_i^3 \dd{r} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \dd{r} \end{equation}
也可以在极坐标中直接根据定义写出积分
\begin{equation} I = \int {r^2}\sigma \dd{s} = \int_0^{2\pi } \int_0^R \sigma r^2 \cdot r \dd{r}\dd{\theta} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \dd{r} = \frac12\sigma \pi R^2 R^2 = \frac12 M R^2 \end{equation}
圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成,转动惯量系数相同.

薄球壳

   球壳可以看做由许多细圆环组成,质量面密度为 $\sigma = M/(4\pi R^2)$,球坐标中,令第 $i$ 个圆环对应的极角为 $\theta$,宽度为 $R \dd{\theta}$,面积为 $\dd{s_i} = 2\pi R\sin\theta_i \cdot R \dd{\theta}$,半径为 $r_i = R\sin\theta_i$,总转动惯量为

\begin{equation} \ali{ I &= \sum_i r_i^2 \dd{m_i} = \sum_i R^2 \sin^2 \theta_i \cdot \sigma \cdot 2\pi R\sin\theta_i \cdot R \dd{\theta} \\ &= 2\pi \sigma R^4 \sum_i \sin^3 \theta_i \dd{\theta} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \dd{\theta} }\end{equation}
也可以在球坐标中直接写出球面积分
\begin{equation} \ali{ I &= \int r^2 \sigma \dd{s} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (R\sin \theta)^2 \sigma R^2\sin \theta \dd{\theta} \dd{\phi} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \dd{\theta}\\ &= 2\pi \sigma R^4\int_{-1}^1 (1 - \cos^2 \theta ) \dd{\cos \theta} = \frac23 (\sigma 4\pi R^2) R^2 = \frac23 M R^2 }\end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法.

球体

   球体可以看做由许多薄球壳组成,体密度为 $\rho = M/(4\pi R^3/3)$,令第 $i$ 个球壳半径为 $r_i$,厚度为 $\dd{r}$,体积为 $4\pi r_i^2 \dd{r}$,总转动惯量为

\begin{equation} I = \sum_i \frac23 m_i r_i^2 = \frac23 \sum_i \rho V_i r_i^2 = \frac{2M}{R^3}\sum_i r_i^4 \dd{r} = \frac{2M}{R^3} \int_0^{+\infty } r^4 \dd{r} \end{equation}
也可以在球坐标中直接体积分
\begin{equation} \ali{ I &= \int (r\sin \theta )^2 \dd{m} = \int_0^{2\pi } \int_0^\pi \int_0^R (r\sin \theta )^2\sigma r^2 \sin \theta \dd{r}\dd{\theta}\dd{\phi}\\ &= \frac{3M}{2R^3}\int_0^\pi \sin^3\theta \dd{\theta} \int_0^R r^4 \dd{r} =\frac{2M}{R^3}\int_0^R r^4 \dd{r} = \frac{2}{5} M R^2 }\end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法.

薄长方体(垂直轴)

   由“薄长方体(共面轴)”可知两个共面方向的转动惯量分别为 $MR_1^2/3$ 和 $MR_2^2/3$,使用平行轴定理可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和

\begin{equation} I = \frac13 (MR_1^2+MR_2^2) \end{equation}
另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加, 其转动惯量公式也相同.


1. 然而不能看做由许多过圆心的细棒组成,因为这样面密度就是不均匀的.另外注意每个细环的转动惯量并不相同(因为半径各不相同),所以不能直接用圆环的转动惯量公式.

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