图

地球表面的科里奥利力

预备知识　科里奥利力

　　 令延地轴向北的单位矢量为 $\uvec z$， 质点所在经线与赤道交点的单位矢量为 $\uvec x$， 则 $\uvec y = \uvec z \cross \uvec x$． 若质点运动的方向与所在经线的夹角为 $\phi$ （顺时针为正），运动平面的法向量与赤道平面的夹角为 $\theta$ （若把地球近似看做球形，则 $\theta$ 是质点所在纬度1）．这样，运动平面内正北方向的单位矢量为 $\uvec z' = -\sin\theta \,\uvec x + \cos\theta\,\uvec z$， 正东方向的单位矢量为 $\uvec y$， 正上方为 $\uvec x' = \uvec y \cross \uvec z' = \sin\theta \,\uvec z + \cos\theta\,\uvec x$， 速度方向的单位矢量为

\begin{equation} \uvec v = \sin\phi\,\uvec y + \cos\phi\,\uvec z' = -\cos\phi\sin\theta \,\uvec x + \sin\phi\,\uvec y+\cos\phi\cos\theta\,\uvec z \end{equation}
现在可以计算科里奥利力
\begin{equation} \bvec F_{col} = 2mv\omega\,\uvec v\cross\uvec z = 2mv\omega (\cos\phi\sin\theta\,\uvec y + \sin\phi\,\uvec x) \end{equation}
其向北，向东，向上的分量分别为
\begin{equation} \bvec F_{col} \vdot \uvec z' = -2mv\omega\sin\theta\sin\phi \qquad \bvec F_{col} \vdot \uvec y = 2mv\omega\sin\theta\cos\phi \end{equation}
\begin{equation} \bvec F_{col}\vdot\uvec x' = 2mv\omega\sin\phi\cos\theta \end{equation}
可以证明水平分力可以表示为
\begin{equation} \bvec F_{col}^{\|} = (\bvec F_{col} \vdot \uvec y)\uvec y + (\bvec F_{col} \vdot \uvec z')\uvec z' = 2m\bvec v\cross\bvec\omega' \end{equation}
其中 $\bvec\omega' = \omega\sin\theta\,\uvec x'$． 可见科氏力的水平分量始终与速度垂直，且在地球的两极（$\theta = \pi/2$）处取最大值 $2mv\omega$， 在赤道处为 0．

　　 要特别注意的是，地球表面的非惯性力除了科里奥利力外还有离心力，但离心力一般被地球的椭球形弥补，可以不计．

例1　

　　 假设 30 吨重的高铁车厢在北纬 30 度以 $300\Si{km/h}$ 的速度行驶，其水平方向的科氏力大小为

\begin{equation} \ali{ F_{col} &= 2\times 30,000\Si{kg}\times \frac{300,000\Si{m}}{3600\Si{s}} \times\frac{2\pi}{24\Si{h}\times 3600\Si{s}}\times\sin\frac{\pi}{6} \\ &= 60.32\Si{N} }\end{equation}

1. 但严格来说地球由于受离心力，赤道宽，两极窄．

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