图

地球表面的科里奥利力

预备知识 科里奥利力

   令延地轴向北的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $, 质点所在经线与赤道交点的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $, 则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $. 若质点运动的方向与所在经线的夹角为 $\phi$ (顺时针为正),运动平面的法向量与赤道平面的夹角为 $\theta$ (若把地球近似看做球形,则 $\theta$ 是质点所在纬度1).这样,运动平面内正北方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = -\sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $, 正东方向的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $, 正上方为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = \sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $, 速度方向的单位矢量为

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} = \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \cos\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = -\cos\phi\sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\cos\phi\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
现在可以计算科里奥利力
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} = 2mv\omega\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = 2mv\omega (\cos\phi\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \sin\phi\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \end{equation}
其向北,向东,向上的分量分别为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = -2mv\omega\sin\theta\sin\phi \qquad \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = 2mv\omega\sin\theta\cos\phi \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = 2mv\omega\sin\phi\cos\theta \end{equation}
可以证明水平分力可以表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col}^{\|} = ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _{col} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ') \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' = 2m \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ' = \omega\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} '$. 可见科氏力的水平分量始终与速度垂直,且在地球的两极($\theta = \pi/2$)处取最大值 $2mv\omega$, 在赤道处为 0.

   要特别注意的是,地球表面的非惯性力除了科里奥利力外还有离心力,但离心力一般被地球的椭球形弥补,可以不计.

例1 

   假设 30 吨重的高铁车厢在北纬 30 度以 $300 \,\mathrm{km/h} $ 的速度行驶,其水平方向的科氏力大小为

\begin{equation} \begin{aligned} F_{col} &= 2\times 30,000 \,\mathrm{kg} \times \frac{300,000 \,\mathrm{m} }{3600 \,\mathrm{s} } \times\frac{2\pi}{24 \,\mathrm{h} \times 3600 \,\mathrm{s} }\times\sin\frac{\pi}{6} \\ &= 60.32 \,\mathrm{N} \end{aligned} \end{equation}


1. 但严格来说地球由于受离心力,赤道宽,两极窄.

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