图

误差函数

预备知识 高斯积分

   误差函数的定义为

\begin{equation} \erf(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

   由高斯积分中的结论可得

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \sqrt{\pi} \end{equation}
所以有
\begin{equation} \erf(\pm\infty) = \pm 1 \end{equation}

   由式 13 , 误差函数的导数为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-x^2} \end{equation}
即 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 的不定积分(原函数)为
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \erf(x) + C \end{equation}

级数展开

预备知识 泰勒级数

   由指数函数的级数展开得

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (-x^2)^n = \sum_n \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n} \end{equation}
对各项做不定积分代入式 5 可得误差函数的级数展开为
\begin{equation} \erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} \dots \right) \end{equation}

例1 

   令 $a$ 为实数且 $a > 0$, 计算不定积分

\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   我们可以先将指数部分凑平方得

\begin{equation} -ax^2 + bx = -t^2 + \frac{b^2}{4a} \end{equation}
其中
\begin{equation} t = \sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \qquad \end{equation}
使用上式进行换元积分得
\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\sqrt{a}} \mathrm{e} ^{\frac{b^2}{4a}} \int \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{\frac{b^2}{4a}} \erf \left(\sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) \end{equation}

例2 

   计算无穷积分

\begin{equation} g(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
令 $b = - \mathrm{i} k$, 使用例 1 的结论有
\begin{equation} g(k) = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-\frac{k^2}{4a}} \left. \erf \left(\sqrt{a} x + \frac{ \mathrm{i} k}{2\sqrt{a}} \right) \right\rvert _{-\infty}^{+\infty} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-\frac{k^2}{4a}} \end{equation}

   该积分在高斯波包的傅里叶变换中需要使用.

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