等温过程

贡献者： FFjet

预备知识　压强体积图

　　等温过程的特征是系统的温度保持不变，即 $\mathrm dT=0$。由于理想气体的内能只取决于温度，所以在等温过程中，理想气体的内能也保持不变，也就是说 $\mathrm dE=0$。

　　设想一汽缸壁是绝对不导热的，而底部则是绝对导热的（图 1 ）。现在将气缸的底部和一恒温热源相接触，当活塞上的外界压强无限缓慢地降低时，缸内气体也将随之逐渐膨胀，对外做功气体内能就随之缓慢减少，温度也将随之略微降低。然而，由于气体与恒温热源相接触，当气体温度比热源温度略低时，就有微小的热量传给气体，使气体温度维持原值不变。这一准静态过程就是一个等温过程（isothermal process）。

图 1：气体的等温膨胀

　　在等温过程中，$P_1V_1=P_2V_2$，系统对外做的功为

\begin{equation} W= \int_{V_{1}}^{V_{2}} p \mathrm{d} V=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{P_{1} V_{1}}{V} \mathrm{d} V=P_{1} V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=P_{1} V_{1} \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　根据理想气体状态方程可得

\begin{equation} W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　又根据热力学第一定律，系统在等温过程中所吸收的热量应和它所做的功相等，即

\begin{equation} Q_{T}=W=\frac{m}{M} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{m}{M} R T \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}~. \end{equation}

　　那么等温过程在 $P$-$V$ 图上长什么样呢？当然是一条双曲线上的一段。这种双曲线就叫做等温线（isotherm）。如图 2 所示，$\rm I\to II$ 就是一个等温膨胀过程。在等温膨胀过程中，理想气体所吸取的热量全部转化为对外所做的功；反之，在等温压缩时。外界对理想气体所做的功，将全部转化为传给恒温热源的热量。

图 2：等温过程中功的计算

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。