图

等间隔能级系统(正则系宗)

预备知识 玻尔兹曼因子配分函数

结论

   若一个系统的能量只能取一系列离散的值(能级),但相邻能级间距恰好为 $\varepsilon$,那么该系统在温度 $\tau$ 达到热平衡时,平均能量为

\begin{equation} \ev{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{\E^{\varepsilon/\tau} - 1} \end{equation}

推导 1

   令第 $n$ 个能级的能量为 $\varepsilon_n$,能量的平均值为

\begin{equation} \ev{\varepsilon} = \frac{\sum\limits_{n = 0}^\infty \varepsilon_n \expRound{-\varepsilon_n/\tau}}{\sum\limits_{n = 0}^\infty \expRound{-\varepsilon_n/\tau}} \end{equation}
其中 $\sum\limits_{n = 0}^\infty \expRound{-\varepsilon_n/\tau}$ 就是配分函数 $Q$.

   对于等间距能级,假设等间距能级 $\varepsilon_n = n\varepsilon$ (也可以假设 $\varepsilon_n = \varepsilon_0 + n\varepsilon $,上式的分子分母都多出一个因子 $\expRound{-\varepsilon_0/\tau}$,最后的结果相同).首先化简配分函数

\begin{equation} Q = \sum_{n = 0}^\infty \E^{-n\varepsilon /\tau} = \sum_{n = 0}^\infty (\E^{-\varepsilon/\tau})^n \end{equation}
由于 $\E^{-\varepsilon/\tau} < 1$,根据等比数列求和公式
\begin{equation} Q = \frac{1}{1 - \E^{-\varepsilon /\tau}} \end{equation}
再化简分子
\begin{equation} \sum_{n = 0}^\infty n\varepsilon \expRound{-n\varepsilon /\tau} = \varepsilon \sum_{n = 0}^\infty n(\E^{-\varepsilon/\tau})^n \end{equation}
令 $x = \E^{-\varepsilon/\tau}$,有 $x < 1$.同样根据等比数列求和公式
\begin{equation} \sum_{n = 0}^\infty n x^n = x\dv{x}\sum_{n = 0}^\infty x^n = x\dv{x} \qtyRound{\frac{1}{1 - x}} = \frac{x}{(1 - x)^2} \end{equation}
把 $x$ 换成 $\E^{-\varepsilon/\tau}$,式 5 变为
\begin{equation} \frac{\varepsilon \E^{-\varepsilon/\tau}}{(1 - \E^{-\varepsilon/\tau})^2} \end{equation}
把分子分母代入平均值公式式 2 得到最后结论
\begin{equation} \ev{\varepsilon} = \left. \frac{\varepsilon \E^{-\varepsilon/\tau}}{(1 - \E^{-\varepsilon/\tau})^2} \middle/ \frac{1}{1 - \E^{-\varepsilon/\tau}} \right. = \frac{\varepsilon \E^{-\varepsilon/\tau}}{1 - \E^{-\varepsilon/\tau}} = \frac{\varepsilon}{\E^{\varepsilon/\tau} - 1} \end{equation}

推导 2

   由式 4 已知配分函数

\begin{equation} Q = \frac{1}{1 - \E^{-\varepsilon/\tau}} = \frac{1}{1 - \E^{-\varepsilon\beta}} \end{equation}
我们也可以直接用能量均值公式
\begin{equation} \ev{\varepsilon} = -\pdv{\beta} \ln Q = \pdv{\beta} \lnRound {1 - \E^{-\varepsilon\beta}} = \frac{\varepsilon \E^{-\varepsilon\beta}}{1 - \E^{-\varepsilon\beta}} = \frac{\varepsilon}{\E^{\varepsilon /\tau} - 1} \end{equation}
结果相同.

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