图

椭圆的三种定义

预备知识 圆锥曲线的极坐标方程

第二种定义

   我们已经知道用焦点和准线如何定义椭圆, 但从椭圆的极坐标公式难以看出椭圆的对称性,这里用相同的定义推导直角坐标的表达式. 我们不妨先以一个焦点为原点定义直角坐标系, 且令 $x$ 轴指向另一个焦点, 则有

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{equation}
代入椭圆的极坐标方程式 1
\begin{equation} \sqrt{x^2 + y^2} = p + ex \end{equation}
两边平方并整理得
\begin{equation} (1 - e^2) \qtyRound{ x - \frac{ep}{1 - e^2} }^2 + y^2 = \frac{p^2}{1 - e^2} \end{equation}
由此可见,如果我们把椭圆左移 $ep/(1 - e^2)$,椭圆将具有
\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation}
的形式. 其中 $a$ 为半长轴, $b$ 为半短轴.这就是椭圆的第二种定义, 即把单位圆沿两个垂直方向分别均匀拉长 $a$ 和 $b$.下面来看系数的关系.首先定义椭圆的焦距为焦点到椭圆中心的距离(即以上左移的距离)为
\begin{equation} c = \frac{ep}{1 - e^2} \end{equation}
式 3 式 4 对比系数得
\begin{equation} a = \frac{p}{1 - e^2} \qquad b = \frac{p}{\sqrt {1 - e^2} } \end{equation}
以上两式可以将椭圆的极坐标方程转为直角坐标方程. 另外易证
\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation}
若要从直角坐标方程变回极坐标方程, 将式 5 式 6 逆转得
\begin{equation} e = \frac{c}{a}\qquad p = \frac{b^2}{a} \end{equation}

第三种定义

   椭圆的第三种定义是, 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 $2a$. 现在我们来证明前两种定义下的椭圆满足这个条件. 由直角坐标方程可知对称性,可在椭圆的两边做两条准线,令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,到两准线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$,则有

\begin{equation} e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 + r_2}{d_1 + d_2} \end{equation}
所以
\begin{equation} r_1 + r_2 = e(d_1+d_2) = 2e(c + h) = 2\frac{c}{a} \qtyRound{ c + \frac{b^2}{c} } = 2a \end{equation}
证毕.

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