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电场

预备知识 库仑定律

   在经典电磁理论中, 电荷与电荷之间的作用力是通过场的作用产生的. 所以点电荷 $q_1$ 对另一个点电荷 $q_2$ 的库仑力可以理解为 $q_1$ 在其周围产生了电场对 $q_2$ 的作用(反之亦然).

   注意在点电荷模型中, 我们假设一个点电荷产生的电场对其自身合力为 0. 另外, 我们一般不讨论点电荷所在位置处的电场强度, 我们可以说电场在该点处没有定义.

   电场是可以叠加的, 当空间中有 $N$ 个点电荷, 空间中某点(除了这些电荷所在的点)处的电场等于每个点电荷在该点产生的电场之和. 注意这个求和是矢量相加.

   在某个时刻, 空间中的电场是位置 $\bvec r$ 的矢量函数, 即任意一个 $\bvec r$ 对应一个唯一矢量 $\bvec E$. 我们把这个函数记为 $\bvec E(\bvec r)$. 当另一个点电荷处于这个电场中, 它就会受到电场力

\begin{equation} \bvec F(\bvec r) = q \bvec E(\bvec r) \end{equation}
这个力也是位置的函数, 也就是一个力场

点电荷的电场

   现在我们可以用式 1 推出点电荷电场的表达式. $q_1$ 对 $q_2$ 的库仑力为(式 1

\begin{equation} \bvec F_{12} = q_2 \bvec E_1(\bvec r_2) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{\abs{\bvec r_2 - \bvec r_1}^2} \uvec r_{12} \end{equation}
其中 $\bvec E_1(\bvec r)$ 是 $q_1$ 单独产生的电场分布. 两边除以 $q_2$ 得
\begin{equation} \bvec E_1(\bvec r_2) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{\abs{\bvec r_2 - \bvec r_1}^2} \uvec r_{12} \end{equation}

   所以, 任意点位于 $\bvec r_i$ 处的点电荷 $q_i$ 产生的电场为

\begin{equation} \bvec E(\bvec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_i}{\abs{\bvec r - \bvec r_i}^2} \uvec R_i \end{equation}
其中单位矢量 $\bvec R$ 由 $\bvec r_i$ 指向 $\bvec r$. 由于电场可叠加, 空间中的 $N$ 个电荷产生的电场为
\begin{equation} \bvec E(\bvec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{\abs{\bvec r - \bvec r_i}^2} \uvec R_i \end{equation}

连续分布电荷的电场

   当电荷时连续分布时, 我们可以用电荷密度 $\rho(\bvec r)$ 表示其分布情况. 式 5 的求和变为三重积分

\begin{equation} \bvec E(\bvec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\bvec r')}{\abs{\bvec r - \bvec r'}^2} \uvec R_i \dd[3]{r'} \end{equation}

例1 无限长导线的电势

   (未完成)

例2 均匀带平板的电势

   电荷面密度为 $\sigma$, 令无穷远处为零势点, 求均匀带电球内外的电势分布.

   (未完成)

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