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电场

预备知识 库仑定律

   在经典电磁理论中, 电荷与电荷之间的作用力是通过场的作用产生的. 所以点电荷 $q_1$ 对另一个点电荷 $q_2$ 的库仑力可以理解为 $q_1$ 在其周围产生了电场对 $q_2$ 的作用(反之亦然).

   注意在点电荷模型中, 我们假设一个点电荷产生的电场对其自身合力为 0. 另外, 我们一般不讨论点电荷所在位置处的电场强度, 我们可以说电场在该点处没有定义.

   电场是可以叠加的, 当空间中有 $N$ 个点电荷, 空间中某点(除了这些电荷所在的点)处的电场等于每个点电荷在该点产生的电场之和. 注意这个求和是矢量相加.

   在某个时刻, 空间中的电场是位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的矢量函数, 即任意一个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 对应一个唯一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $. 我们把这个函数记为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$. 当另一个点电荷处于这个电场中, 它就会受到电场力

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = q \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
这个力也是位置的函数, 也就是一个力场

点电荷的电场

   现在我们可以用式 1 推出点电荷电场的表达式. $q_1$ 对 $q_2$ 的库仑力为(式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{12} = q_2 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _{12} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是 $q_1$ 单独产生的电场分布. 两边除以 $q_2$ 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} _1( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert ^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _{12} \end{equation}

   所以, 任意点位于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 处的点电荷 $q_i$ 产生的电场为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_i}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert ^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} _i \end{equation}
其中单位矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 由 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $. 由于电场可叠加, 空间中的 $N$ 个电荷产生的电场为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert ^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} _i \end{equation}

连续分布电荷的电场

   当电荷时连续分布时, 我们可以用电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 表示其分布情况. 式 5 的求和变为三重积分

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} _i \,\mathrm{d}^{3}{r'} \end{equation}

例1 无限长导线的电势

   (未完成)

例2 均匀带平板的电势

   电荷面密度为 $\sigma$, 令无穷远处为零势点, 求均匀带电球内外的电势分布.

   (未完成)

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