图

带电粒子的薛定谔方程

预备知识 点电荷的拉格朗日和哈密顿量

   经典点电荷在电磁场中的哈密顿量为

\begin{equation} H = \frac{1}{2m}(\bvec p - q\bvec A)^2 + q\phi \end{equation}
其中 $\bvec A$ 和 $\phi$ 都是位置和时间的函数. 注意这里的 $\bvec p$ 是广义动量
\begin{equation} \bvec p = m\bvec v + q\bvec A \end{equation}
算符仍然是 ${\bvec p} = -\I\hbar\grad$. 只有 $\bvec A = \bvec 0$ 时才有 $\bvec p = m\bvec v$.

   所以哈密顿算符是

\begin{equation} H = \frac{\bvec p^2}{2m} - \frac{q}{2m}(\bvec A\vdot \bvec p + \bvec p \vdot \bvec A) + \frac{q^2}{2m} \bvec A^2 + q\phi \end{equation}

   这个方程在以下度规变换下形式不变

\begin{equation} \bvec A = \bvec A' + \grad \chi \end{equation}
\begin{equation} \phi = \phi' - \pdvTwo{\chi}{t} \end{equation}
\begin{equation} \Psi = \Psi' \expRound{\I q\chi/\hbar} \end{equation}
其中 $\chi(\bvec r, t)$ 是一个任意可导函数. 将以上三式代入薛定谔方程, 只需要把不带撇的变量替换为带撇的变量.

长度度规

速度度规

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