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带电粒子的薛定谔方程

         

预备知识 点电荷的拉格朗日和哈密顿量

   经典点电荷在电磁场中的哈密顿量为

\begin{equation} H = \frac{1}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\phi \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $\phi$ 都是位置和时间的函数. 注意这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是广义动量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
算符仍然是 ${ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla $. 只有 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时才有 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $.

   所以哈密顿算符是

\begin{equation} H = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\phi \end{equation}

   如果我们对波函数也进行一个相位变换, 这个方程在标势和矢势的规范变换下形式不变

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ' + \boldsymbol\nabla \chi \end{equation}
\begin{equation} \phi = \phi' - \frac{\partial \chi}{\partial t} \end{equation}
\begin{equation} \Psi = \Psi' \exp\left( \mathrm{i} q\chi/\hbar\right) \end{equation}
其中 $\chi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 是一个任意可导函数. 将以上三式代入薛定谔方程, 只需要把不带撇的变量替换为带撇的变量.

   常见的规范如长度规范和速度规范

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