图

电磁场中的类氢原子

预备知识 带电粒子的薛定谔方程, 规范变换

  1假设原子核不动(无限核质量近似), 使用库仑规范得

\begin{equation} \varphi = \frac{Z}{r} \end{equation}
其中 $Z < 0$ 是核电荷数.

   式 5 变为

\begin{equation} H = H_0 + H_I = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \frac{Z}{r} - \frac{ \mathrm{i} }{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \frac{1}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 \end{equation}
其中含时哈密顿算符 $H_I$ 是后两项.

   以下我们使用偶极近似, 则 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 只是时间的函数.

速度规范

   对库仑规范使用规范变换

\begin{equation} \Psi^V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} \chi\right) \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
\begin{equation} \chi = \frac{1}{2m} \int^t \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2(t') \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
就可以将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2$ 项消去
\begin{equation} \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^V = \left(H_0 + \frac{1}{m} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \right) \Psi^V \end{equation}
这种规范叫做速度规范

长度规范

\begin{equation} \Psi^L( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} \chi\right) \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
\begin{equation} \chi = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
得薛定谔方程为
\begin{equation} \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi^L = [H_0 + \boldsymbol{\mathbf{\mathcal{E}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ] \Psi^L \end{equation}
这种规范叫做长度规范


1. 本词条使用原子单位

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