图

电磁场角动量分解

   电磁场的动量为

\begin{equation} \bvec p = \epsilon_0 \int \dd{V} \bvec E \cross \bvec B \end{equation}
角动量为
\begin{equation} \bvec J = \bvec r \cross \bvec p = \epsilon_0 \int \dd{V} \bvec r \cross \bvec E \cross (\curl \bvec A) \end{equation}
现在假设电磁场只在一定范围内不为零, 且体积分的边界处场强为零. 假设该范围内没有净电荷与电流, 则
\begin{equation}\ali{ \bvec r \cross \bvec E \cross (\curl \bvec A) &= \bvec r \cross [\grad (\bvec E \vdot \bvec A) - \bvec A(\bvec E \vdot \bvec\nabla )]_{\partial A} \\ &= [(\bvec r \cross \bvec\nabla )(\bvec E \vdot \bvec A) - (\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial A} }\end{equation}
其中转微分算符 $[\,]_{\partial A}$ 的作用是先把方括号内的 $\bvec\nabla$ 作为普通矢量进行计算, 再把展开结果中每一项的偏微分作用在 $A$ 的分量上. 上式第一项为 $\sum\limits_i {E_i} (\bvec r \cross \bvec\nabla ) A_i$, 第二项为
\begin{equation} -[(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial A} = - (\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A) + [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial r} \end{equation}
其中第二项为 $[(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial r} = [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )\bvec r] \cross \bvec A = \bvec E \cross \bvec A$, 第一项中
\begin{equation} \begin{aligned} (\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A) &= [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial ErA} - [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial E}\\ & = [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial ErA} \end{aligned} \end{equation}
这是因为 $[(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial E} = (\div\bvec E)(\bvec r \cross \bvec A) = 0$. 综上,
\begin{equation} \bvec J = \epsilon_0 \int \dd{V} \sum_i E_i (\bvec r \cross \bvec\nabla ) A_i + \epsilon_0 \int \dd{V} \bvec E \cross \bvec A + \epsilon_0 \int \dd{V} [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial ErA} \end{equation}
现在证明最后一项为 0. 以 $x$ 分量为例,
\begin{equation} \begin{aligned} \uvec x \int \dd{V} [(\bvec E \vdot \bvec\nabla )(\bvec r \cross \bvec A)]_{\partial ErA} &= \int \dd{V} \div [\bvec E(\uvec x \vdot \bvec r \cross \bvec A) ] \\ &= \oint \dd{\bvec s} \bvec E(\uvec x \vdot \bvec r \cross \bvec A) = 0 \end{aligned} \end{equation}
最后一步是因为边界处场强为零. 现在我们可以看出角动量由两部分组成
\begin{equation} \bvec J = \bvec L + \bvec S \qquad \bvec L = \epsilon_0 \int \dd{V} \sum_i E_i (\bvec r \cross \bvec\nabla ) A_i \qquad \bvec S = \epsilon_0 \int \dd{V} \bvec E \cross \bvec A \end{equation}
其中 $\bvec L$ 是轨道角动量, $\bvec S$ 是自旋角动量.

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