图

磁场中闭合电流的力矩

预备知识 安培力,力矩
图
图1:闭合电流在磁场中所受的力矩

   如图 1 , 线圈中有闭合电流 $I$, 以及任意磁场分布 $\bvec B(\bvec r)$, 现在求线圈所受力矩.我们可以把线圈划分为许多小段 $\dd{\bvec r}$,每小段的安培力产生的力矩为

\begin{equation} \dd{\bvec \tau} = \bvec r\cross \dd{F} = \bvec r \cross (I \dd{\bvec r} \cross \bvec B) \end{equation}
对连续叉乘进行化简
\begin{equation} \begin{aligned} \dd{\bvec \tau} &= \bvec r \cross (I\dd{\bvec r} \cross \bvec B) = I (\bvec B \vdot \bvec r) \dd{\bvec r} - I\bvec B (\bvec r \vdot \dd{\bvec r}) \end{aligned} \end{equation}
对 $\bvec r$ 沿闭合回路进行环积分得总力矩为
\begin{equation} \begin{aligned} \bvec \tau & = \int \dd{\bvec \tau} = I\oint (\bvec B\vdot\bvec r)\dd{\bvec r} - I\bvec B\oint \bvec r \vdot \dd{\bvec r} \end{aligned} \end{equation}
其中
\begin{equation} \oint \bvec r \vdot \dd{\bvec r} = \oint r \uvec r \vdot \dd{\bvec r} = \oint r \dd{r} = \eval{\frac{r^2}{2}}_{r_0}^{r_0} = 0 \end{equation}
这是因为换积分的起点和终点到原点的距离都相同. 所以
\begin{equation}\ali{ \bvec \tau &= I \oint (\bvec B \vdot \bvec r) \dd{\bvec r} \\ &= \uvec x I \oint (\bvec B \vdot \bvec r)\uvec x \vdot \dd{\bvec r} + \uvec y I \oint (\bvec B \vdot \bvec r)\uvec y \vdot \dd{\bvec r} + \uvec zI \oint (\bvec B \vdot \bvec r)\uvec z \vdot \dd{\bvec r} }\end{equation}
对第一项进行分析,剩下两项类推即可 由斯托克斯定理得
\begin{equation} \begin{aligned} \uvec x I \oint (\bvec B \vdot \bvec r)\uvec x \vdot \dd{\bvec r} &= \uvec x I \int \curl [ ( \bvec B \vdot \bvec r)\uvec x] \vdot \dd{\bvec s} \\ &= \uvec x I \int \grad (\bvec B \vdot \bvec r) \cross \uvec x \vdot \dd{\bvec s} \\ &= \uvec x I \int \dd{\bvec s} \cross \grad (\bvec B \vdot \bvec r) \vdot \uvec x \end{aligned} \end{equation}
其中面积分在以环路为边界的任意曲面进行.对 $\uvec y$ 和 $\uvec z$ 项也同样处理,得
\begin{equation} \bvec \tau = I \int \dd{\bvec s}\cross\grad(\bvec B\vdot\bvec r) \end{equation}
这是最一般的力矩表达式.

   当磁场为匀强磁场时,由于 $\grad (\bvec B \vdot \bvec r) = \bvec B$

\begin{equation} \bvec \tau = I \qtyRound{\int \dd{\bvec s}} \cross \bvec B \end{equation}

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利