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磁场中闭合电流的力矩

预备知识 安培力,力矩
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图1:闭合电流在磁场中所受的力矩

   如图 1 , 线圈中有闭合电流 $I$, 以及任意磁场分布 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$, 现在求线圈所受力矩.我们可以把线圈划分为许多小段 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $,每小段的安培力产生的力矩为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{F} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
对连续叉乘进行化简
\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = I ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - I \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ) \end{aligned} \end{equation}
对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 沿闭合回路进行环积分得总力矩为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} & = \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} } = I\oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - I \boldsymbol{\mathbf{B}} \oint \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{aligned} \end{equation}
其中
\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \oint r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \oint r \,\mathrm{d}{r} = \left. \frac{r^2}{2} \right\rvert _{r_0}^{r_0} = 0 \end{equation}
这是因为换积分的起点和终点到原点的距离都相同. 所以
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{aligned} \end{equation}
对第一项进行分析,剩下两项类推即可 由斯托克斯定理得
\begin{equation} \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \oint ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} [ ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ] \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} I \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \end{aligned} \end{equation}
其中面积分在以环路为边界的任意曲面进行.对 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 项也同样处理,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = I \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\times \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
这是最一般的力矩表达式.

   当磁场为匀强磁场时,由于 $ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} $

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = I \left(\int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}

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