电磁场的能量守恒、坡印廷矢量

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 麦克斯韦方程组,电场的能量,磁场的能量

1. 结论

坡印廷矢量

   真空中电磁场的能流密度(即单位面积单位时间通过某个垂直的微小截面的能量)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~, \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 就是坡印廷矢量。

电磁场能量密度

   单位体积的电磁场能量密度 [32]

\begin{equation} u=\frac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2+ \frac{1}{\mu_0} B^2)=\frac{1}{2} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{H}} )~. \end{equation}

例 1 平面电磁波的能流密度

   我们知道真空中的平面电磁波的电场和磁场方向垂直,所以二者叉乘的模长等于他们各自的模长相乘。叉乘的方向就是电磁波传播的方向。考虑到每个位置的磁场 $ \left\lvert B( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert = \left\lvert E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert /c$,再利用式 6

\begin{equation} s = \frac{1}{\mu_0 c} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2 = \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2~. \end{equation}
但注意在任意一点处,这个值是随时间以 $\sin^2$ 波动的,在波节处,能流密度为零,而在波峰处为最大,平均值等于 $1/2$。所以任意一点的平均能流密度为
\begin{equation} \left\langle s \right\rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} _{max} \right\rvert ^2~. \end{equation}

2. 电磁场的局域能量守恒定理

电磁场能量守恒积分形式

\begin{equation} \int_V \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{V} + \frac{\partial}{\partial{t}} \int_V \rho_E \,\mathrm{d}{V} + \oint_\Omega \boldsymbol{\mathbf{s}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = 0~. \end{equation}
选取任意的一个闭合曲面 $\Omega $,内部空间记为 $V$,以下三者之和为零。

  1. 电磁场对 $V$ 中所有电荷做功的功率
  2. $V$ 中电磁场能量增加的速率
  3. 以及通过曲面 $\Omega $ 流出的能量的速率

电磁场能量守恒微分形式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0~, \end{equation}
空间中选取任意一点,以下三者之和为零。

  1. 电磁场对电荷的功率密度
  2. 电磁场能量密度增量
  3. 能流密度散度

3. 推导

   类比电流的连续性方程式 5 (即电荷守恒),若电磁场不对电荷做功,能量守恒可以写成

未完成:$\rho_E$ 的表达式引用一下
\begin{equation} \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0~. \end{equation}
的形式。其中 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 是电磁场的能流密度(也叫坡印廷矢量)(“流” 的相关概念可以参考流、流密度)。但若再考虑上电磁场对电荷做功,则还需要加上一项做功做功功率密度 $ \partial w/\partial t $,即单位时间单位体积电磁场对电荷做的功)。
\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0~. \end{equation}

   第一项相当于电磁场对电荷做的功,即广义洛伦兹力的功率密度

\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}
假设电磁场的能量守恒式 8 成立,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \rho_E/\partial t - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $。等式右边只与场有关,所以用麦克斯韦方程组的第四条公式把电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 替换成有关场的量,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~, \end{equation}
代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial t} &= \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ &= \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{aligned} \end{equation}
式 8 第二项中,$\rho_E$ 是电场能量密度和磁场能量密度之和,即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\ &= (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} ~. \end{aligned}\end{equation}
现在我们可以把式 11 式 12 代入式 8 中,求出 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $。
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{aligned} \end{equation}
其中 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$,因为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} $(矢量算符运算法则,Gibbs 算子相关公式)。代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~. \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $,代入得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) ~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}
这就是电磁场的能流密度。

   事实上,给 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 再加上任意一个散度为零的场,式 15 都能满足,但为了简洁起见,一般写成式 16


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