图

电磁场的能量守恒 坡印廷矢量

预备知识 麦克斯韦方程组, 电场的能量, 磁场的能量

结论

坡印廷矢量

   真空中电磁场的能流密度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 就是坡印廷矢量.

电磁场能量守恒积分形式

\begin{equation} \int_V \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{V} + \frac{\partial}{\partial{t}} \int_V \rho_E \,\mathrm{d}{V} + \oint_\Omega \boldsymbol{\mathbf{s}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = 0 \end{equation}
选取任意的一个闭合曲面 $\Omega $, 内部空间记为 $V$, 以下三者之和为零.

  1. 电磁场对 $V$ 中所有电荷做功的功率
  2. $V$ 中电磁场能量增加的速率
  3. 以及通过曲面 $\Omega $ 流出的能量的速率

电磁场能量守恒微分形式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}
空间中选取任意一点, 以下三者之和为零.

  1. 电磁场对电荷的功率密度
  2. 电磁场能量密度增量
  3. 能流密度散度

推导

   类比电流的连续性方程式 4 (即电荷守恒),若电磁场不对电荷做功,能量守恒可以写成

\begin{equation} \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}
的形式.其中 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 是电磁场的能流密度(也叫坡印廷矢量)(参考流密度).但若再考虑上电磁场对电荷做功, 则还需要加上一项做功做功功率密度 $ \partial w/\partial t $, 即单位时间单位体积电磁场对电荷做的功).
\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}

   第一项中电磁场对电荷做功即广义洛伦兹力做功(功率密度)

\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
假设电磁场的能量守恒式 5 成立, 那么 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \rho_E/\partial t - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $. 等式右边只与场有关, 所以应该把电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 用麦克斯韦方程组替换成场的表达式, 即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}
代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial t} &= \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ &= \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{aligned} \end{equation}
式 5 第二项中, $\rho_E$ 是电场能量密度和磁场能量密度之和, 即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\ &= (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} \end{aligned}\end{equation}
现在我们可以把式 8 式 9 代入式 5 中, 求出 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $.
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{aligned} \end{equation}
其中 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$, 因为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} $(Gibbs 算子相关公式).代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $, 代入得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
这就是电磁场的能流密度.

   事实上, 给 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 再加上任意一个散度为零的场,式 12 都能满足, 但为了简洁起见, 一般写成式 13

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