图

电磁场的能量守恒 坡印廷矢量

预备知识 麦克斯韦方程组, 电场的能量, 磁场的能量

结论

坡印廷矢量

   真空中电磁场的能流密度为

\begin{equation} \bvec s = \frac{1}{\mu_0} \bvec E \cross \bvec B \end{equation}
$\bvec s$ 就是坡印廷矢量.

电磁场能量守恒积分形式

\begin{equation} \int_V \dvTwo{w}{t} \dd{V} + \pdv{t} \int_V \rho_E \dd{V} + \oint_\Omega \bvec s \vdot \dd{\bvec a} = 0 \end{equation}
选取任意的一个闭合曲面 $\Omega $, 内部空间记为 $V$, 以下三者之和为零.

  1. 电磁场对 $V$ 中所有电荷做功的功率
  2. $V$ 中电磁场能量增加的速率
  3. 以及通过曲面 $\Omega $ 流出的能量的速率

电磁场能量守恒微分形式

\begin{equation} \dvTwo{w}{t} + \pdvTwo{\rho}{t} + \div \bvec s = 0 \end{equation}
空间中选取任意一点, 以下三者之和为零.

  1. 电磁场对电荷的功率密度
  2. 电磁场能量密度增量
  3. 能流密度散度

推导

   类比电流的连续性方程式 4 (即电荷守恒),若电磁场不对电荷做功,能量守恒可以写成

\begin{equation} \pdvTwo{\rho_E}{t} + \div \bvec s = 0 \end{equation}
的形式.其中 $\bvec s$ 是电磁场的能流密度(也叫坡印廷矢量)(参考流密度).但若再考虑上电磁场对电荷做功, 则还需要加上一项做功做功功率密度 $\pdvStarTwo{w}{t}$, 即单位时间单位体积电磁场对电荷做的功).
\begin{equation} \pdvTwo{w}{t} + \pdvTwo{\rho_E}{t} + \div \bvec s = 0 \end{equation}

   第一项中电磁场对电荷做功即广义洛伦兹力做功(功率密度)

\begin{equation} \pdvTwo{w}{t} = \bvec f \vdot \bvec v = \rho (\bvec E + \bvec v \cross \bvec B) \vdot \bvec v = \bvec j \vdot \bvec E \end{equation}
假设电磁场的能量守恒式 5 成立, 那么 $\bvec j \vdot \bvec E = - \pdvStarTwo{\rho_E}{t} - \div \bvec s$. 等式右边只与场有关, 所以应该把电流密度 $\bvec j$ 用麦克斯韦方程组替换成场的表达式, 即
\begin{equation} \bvec j = \frac{1}{\mu_0} \curl \bvec B - \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \end{equation}
代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \pdvTwo{w}{t} &= \qtyRound{\frac{1}{\mu_0} \curl \bvec B - \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t}} \vdot \bvec E\\ &= \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B)\bvec E - \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \bvec E \end{aligned} \end{equation}
式 5 第二项中, $\rho_E$ 是电场能量密度和磁场能量密度之和, 即
\begin{equation} \begin{aligned} \curl (\bvec B \cross \uvec x) &= \bvec B(\div \uvec x) + (x\bvec\nabla) \vdot\bvec B - \uvec x( \div \bvec B) - (\bvec B\vdot\bvec\nabla)\uvec x \\ &= (x\bvec\nabla)\vdot\bvec B = \pdvTwo{\bvec B}{x} \end{aligned}\end{equation}
现在我们可以把式 8 式 9 代入式 5 中, 求出 $\div \bvec s$.
\begin{equation} \begin{aligned} \div \bvec s &= - \pdvTwo{w}{t} - \pdvTwo{\rho_E}{t}\\ &= -\frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B)\bvec E + \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \bvec E - \pdv{t} \qtyRound{ \frac12 \epsilon_0 \bvec E^2 + \frac12 \frac{\bvec B^2}{\mu_0} }\\ &= - \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B)\bvec E - \frac{1}{\mu_0} \pdvTwo{\bvec B}{t}\bvec B \end{aligned} \end{equation}
其中 $(\curl \bvec B) \vdot \bvec E = (\curl \bvec E) \vdot \bvec B - \div (\bvec E \cross \bvec B)$, 因为 $\div (\bvec E \cross \bvec B) = (\curl \bvec E) \vdot \bvec B - (\curl \bvec B) \vdot \bvec E$(Gibbs 算子相关公式).代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \div \bvec s &= - \pdvTwo{w}{t} - \pdvTwo{\rho_E}{t}\\ &= -\frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B)\bvec E + \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \bvec E - \pdv{t} \qtyRound{\frac12 \epsilon_0 \bvec E^2 + \frac12 \frac{\bvec B^2}{\mu_0}}\\ &= - \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec E) \vdot \bvec B - \frac{1}{\mu_0}\pdvTwo{\bvec B}{t} \bvec B + \frac{1}{\mu_0}\div (\bvec E \cross \bvec B) \end{aligned} \end{equation}
其中 $\curl \bvec E = -\pdvStarTwo{\bvec B}{t}$, 代入得
\begin{equation} \div \bvec s = \div \qtyRound{\frac{1}{\mu_0}\bvec E \cross \bvec B} \end{equation}
\begin{equation} \bvec s = \frac{1}{\mu_0}\bvec E \cross \bvec B \end{equation}
这就是电磁场的能流密度.

   事实上, 给 $\bvec s$ 再加上任意一个散度为零的场,式 12 都能满足, 但为了简洁起见, 一般写成式 13

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