图

电磁场的动量守恒 动量流密度张量

预备知识 能流密度, 张量,张量的散度

结论

   假设电磁场动量守恒,则动量流密度张量为

\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \delta_{ij} - E_i E_j \right) + \frac{1}{\mu_0} \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \delta_{ij} - B_i B_j \right) \end{equation}
该张量也成为麦克斯韦应力张量(Maxwell Stress Tensor)

推导

  

   能量是标量,所以能流密度就是矢量.但动量本身就是矢量,要如何表示动量流密度呢? 我们可以分析动量在某方向分量的流密度.根据张量的散度

\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} )_j = \sum_i \frac{\partial}{\partial{x_i}} T_{ji} \end{equation}
假设电磁场满足动量守恒,在闭合空间中,有 “转换速率+流出速率+增加速率= 0”(类比电磁场的能量守恒公式).则电磁场的动量守恒会有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
由广义洛伦兹力计算电荷的受力密度 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \rho \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \qquad ( \boldsymbol{\mathbf{j}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \end{equation}
由于式 3 的后两项是电磁场的量,不能含有关于电荷的量,所以接下来要通过麦克斯韦方程组 把电荷密度 $\rho$ 和电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 替换成电磁场.
\begin{equation} \rho = \epsilon_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \qquad \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \right) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \qquad \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \end{equation}
代入上式,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \epsilon_0 ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} &= \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ &= \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} \qquad \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \right) \end{aligned} \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{f}} &= \epsilon_0 ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \epsilon_0 ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\ &= \epsilon_0 [ ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} ] + \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
为了使式中电磁场的公式更加对称,不妨加上一项
\begin{equation} \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \qquad ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \epsilon_0 [( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} ] + \frac{1}{\mu_0} [ ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ] - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\partial t} \end{equation}
一般来说,凡是出现两个连续的叉乘要尽量化成内积,下面计算 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} $. 由吉布斯算子(劈形算符)的相关公式
\begin{equation} \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} $,得
\begin{equation} \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2) = 2 \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) + 2( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
即 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)/2$ 同理得
\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) \end{equation}
代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{f}} = &\epsilon_0 [ ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} E) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2) ]\\ &+ \frac{1}{\mu_0} [ ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) ] - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

   与式 3 对比,可以看出动量流密度张量的散度为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} = &-\epsilon_0 [ ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)]\\ &-\frac{1}{\mu_0} [( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2)] \end{aligned} \end{equation}
接下来由二阶张量的散度计算公式,通过对比系数,就可以求出动量流密度张量 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $ (三阶矩阵).

   下面把等式右边的部分用求和符号表示(求和符号是张量分析中最常见的符号,只有熟练运用才能学好张量分析).下面推导用到了克罗内克 $\delta$ 函数 ,且定义任意矢量加上下标 表示第 个分量,例如

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} _j = \begin{cases} A_x &(j = 1)\\ A_y &(j = 2)\\ A_z &(j = 3) \end{cases} \qquad x_j = \begin{cases} x &(j = 1)\\ y &(j = 2)\\ z &(j = 3) \end{cases} \end{equation}
$( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)$ 是一个矢量,它的第 $j$ 个分量为
\begin{equation} \begin{aligned} &\phantom{={}} [( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)]_j\\ &= \sum_i \frac{\partial E_i}{\partial x_i} E_j + \sum_i E_i \frac{\partial E_j}{\partial x_i} - \frac12 \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2}{\partial x_i} \delta_{ij} \\ &= \sum_i \left( \frac{\partial E_i}{\partial x_i} E_j + {E_i} \frac{\partial E_j}{\partial x_i} - \frac12 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2}{\partial x_i} \delta_{ij} \right) \\ &= \sum_i \left( \frac{\partial}{\partial{x_i}} (E_i E_j) - \frac12 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2}{\partial x_i} \delta_{ij} \right) \\ &= \sum_i \frac{\partial}{\partial{x_i}} \left(E_i E_j - \frac12 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \delta_{ij} \right) \end{aligned} \end{equation}
同理
\begin{equation} \left[( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac12 \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) \right] _j = \sum_i \frac{\partial}{\partial{x_i}} \left(B_i B_j - \frac12 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \delta_{ij} \right) \end{equation}
所以
\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} )_j = \sum_i \frac{\partial}{\partial{x_i}} \left[\epsilon_0 \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \delta_{ij} - E_i E_j \right) + \frac{1}{\mu_0} \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \delta_{ij} - B_i B_j \right) \right] \end{equation}
而由张量散度的定义
\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} )_j = \sum_i \frac{\partial}{\partial{x_i}} T_{ij} \end{equation}
得到动量流密度张量为
\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \delta_{ij} - E_i E_j \right) + \frac{1}{\mu_0} \left(\frac12 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \delta_{ij} - B_i B_j \right) \end{equation}

   理论上,在 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $ 上面加上任意一个满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{T}} ' = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的张量场,均可以使电磁场动量守恒,但是若规定无穷远处动量流密度为零,则可以证明 ${T'_{ij}} = 0$.

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