图

电磁场的动量守恒 动量流密度张量

预备知识 能流密度, 张量,张量的散度

结论

   假设电磁场动量守恒,则动量流密度张量为

\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \qtyRound{\frac12 \bvec E^2 \delta_{ij} - E_i E_j} + \frac{1}{\mu_0} \qtyRound{\frac12 \bvec B^2 \delta_{ij} - B_i B_j} \end{equation}
该张量也成为麦克斯韦应力张量(Maxwell Stress Tensor)

推导

  

   能量是标量,所以能流密度就是矢量.但动量本身就是矢量,要如何表示动量流密度呢? 我们可以分析动量在某方向分量的流密度.根据张量的散度

\begin{equation} (\div \ten T)_j = \sum_i \pdv{x_i} T_{ji} \end{equation}
假设电磁场满足动量守恒,在闭合空间中,有 “转换速率+流出速率+增加速率= 0”(类比电磁场的能量守恒公式).则电磁场的动量守恒会有
\begin{equation} \bvec f + \div \ten T + \mu_0 \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec s}{t} = \bvec 0 \end{equation}
由广义洛伦兹力计算电荷的受力密度 $\bvec f$
\begin{equation} \bvec f = \rho (\bvec E + \bvec v \cross \bvec B) = \rho \bvec E + \bvec j \cross \bvec B \qquad (\bvec j = \rho \bvec v) \end{equation}
由于式 3 的后两项是电磁场的量,不能含有关于电荷的量,所以接下来要通过麦克斯韦方程组 把电荷密度 $\rho$ 和电流密度 $\bvec j$ 替换成电磁场.
\begin{equation} \rho = \epsilon_0 \div \bvec E \qquad \qtyRound{\div \bvec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}} \end{equation}
\begin{equation} \bvec j = \frac{1}{\mu_0} \curl \bvec B - \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \qquad \qtyRound{\curl \bvec B = \mu_0 \bvec j + \epsilon_0 \mu_0 \pdvTwo{\bvec E}{t}} \end{equation}
代入上式,得
\begin{equation} \bvec f = \epsilon_0 (\div \bvec E) \bvec E + \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B) \cross \bvec B - \epsilon_0 \pdvTwo{\bvec E}{t} \cross \bvec B \end{equation}
其中
\begin{equation}\ali{ \pdvTwo{\bvec E}{t} \cross \bvec B &= \pdv{t} (\bvec E \cross \bvec B) - \bvec E \cross \pdvTwo{\bvec B}{t}\\ &= \pdv{t} (\bvec E \cross \bvec B) - (\curl \bvec E) \cross \bvec E \qquad \qtyRound{\curl \bvec E = - \pdvTwo{\bvec B}{t}} }\end{equation}
代入上式得
\begin{equation}\ali{ \bvec f &= \epsilon_0 (\div \bvec E) \bvec E + \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B) \cross \bvec B + \epsilon_0 (\curl \bvec E) \cross \bvec E - \epsilon_0 \pdv{t} (\bvec E \cross \bvec B)\\ &= \epsilon_0 [ (\div \bvec E)\bvec E + (\curl \bvec E) \cross \bvec E ] + \frac{1}{\mu_0} (\curl \bvec B) \cross \bvec B - \epsilon_0 \mu_0 \pdvTwo{\bvec s}{t} } \end{equation}
为了使式中电磁场的公式更加对称,不妨加上一项
\begin{equation} \frac{1}{\mu_0} (\div \bvec B)\bvec B = \bvec 0 \qquad (\div \bvec B = 0) \end{equation}
\begin{equation} \bvec f = \epsilon_0 [(\div \bvec E)\bvec E + (\curl \bvec E) \cross \bvec E] + \frac{1}{\mu_0} [ (\div \bvec B)\bvec B + (\curl \bvec B) \cross \bvec B] - \epsilon_0 \mu_0 \pdvTwo{\bvec s}{t} \end{equation}
一般来说,凡是出现两个连续的叉乘要尽量化成内积,下面计算 $(\curl \bvec E) \cross \bvec E$. 由吉布斯算子(劈形算符)的相关公式
\begin{equation} \grad (\bvec A \vdot \bvec B) = \bvec A \cross (\curl \bvec B) + \bvec B \cross (\curl \bvec A) + (\bvec A\vdot\bvec\nabla )\bvec B + (\bvec B\vdot\bvec\nabla)\bvec A \end{equation}
令 $\bvec A = \bvec B = \bvec E$,得
\begin{equation} \grad (\bvec E^2) = 2\bvec E \cross (\curl \bvec E) + 2(\bvec E\vdot\bvec\nabla )\bvec E \end{equation}
即 $(\curl \bvec E) \cross \bvec E = (\bvec E\vdot\bvec\nabla)\bvec E - \grad (\bvec E^2)/2$ 同理得
\begin{equation} (\curl \bvec B) \cross \bvec B = (\bvec B\vdot\bvec\nabla )\bvec B - \frac12 \grad (\bvec B^2) \end{equation}
代入得
\begin{equation}\ali{ \bvec f = &\epsilon_0 [ (\curl E)\bvec E + (\bvec E\vdot\bvec\nabla)\bvec E - \frac12 \grad ( \bvec E^2) ]\\ &+ \frac{1}{\mu_0} [ (\div \bvec B)\bvec B + (\bvec B\vdot\bvec\nabla)\bvec B - \frac12 \grad (\bvec B^2) ] - \epsilon_0 \mu_0 \pdvTwo{\bvec s}{t} }\end{equation}

   与式 3 对比,可以看出动量流密度张量的散度为

\begin{equation}\ali{ \div \ten T = &-\epsilon_0 [ ( \div \bvec E )\bvec E + (\bvec E\vdot\bvec\nabla )\bvec E - \frac12 \grad (\bvec E^2)]\\ &-\frac{1}{\mu_0} [(\div \bvec B)\bvec B + (\bvec B\vdot\bvec\nabla)\bvec B - \frac12 \grad (\bvec B^2)] }\end{equation}
接下来由二阶张量的散度计算公式,通过对比系数,就可以求出动量流密度张量 $\ten T$ (三阶矩阵).

   下面把等式右边的部分用求和符号表示(求和符号是张量分析中最常见的符号,只有熟练运用才能学好张量分析).下面推导用到了克罗内克 $\delta$ 函数 ,且定义任意矢量加上下标 表示第 个分量,例如

\begin{equation} \bvec A_j = \leftgroup{A_x\quad (j = 1)\\ A_y\quad (j = 2)\\ A_z\quad (j = 3)} \qquad x_j = \leftgroup{x\quad (j = 1)\\ y\quad (j = 2)\\ z\quad (j = 3)} \end{equation}
$(\div \bvec E)\bvec E + (\bvec E\vdot\bvec\nabla)\bvec E - \frac12 \grad (\bvec E^2)$ 是一个矢量,它的第 $j$ 个分量为
\begin{equation}\ali{ &\phantom{={}} [(\div \bvec E)\bvec E + (\bvec E\vdot\bvec\nabla)\bvec E - \frac12 \grad (\bvec E^2)]_j\\ &= \sum_i \pdvTwo{E_i}{x_i} E_j + \sum_i E_i\pdvTwo{E_j}{x_i} - \frac12 \sum_i \pdvTwo{\bvec E^2}{x_i} \delta_{ij} \\ &= \sum_i \qtyRound{\pdvTwo{E_i}{x_i} E_j + {E_i} \pdvTwo{E_j}{x_i} - \frac12 \pdvTwo{\bvec E^2}{x_i} \delta_{ij}} \\ &= \sum_i \qtyRound{\pdv{x_i} (E_i E_j) - \frac12 \pdvTwo{\bvec E^2}{x_i}\delta_{ij} } \\ &= \sum_i \pdv{x_i} \qtyRound{ E_i E_j - \frac12 \bvec E^2 \delta_{ij}} }\end{equation}
同理
\begin{equation} \qtySquare{(\div \bvec B)\bvec B + (\bvec B\vdot\bvec\nabla)\bvec B - \frac12 \grad (\bvec B^2)}_j = \sum_i \pdv{x_i} \qtyRound{B_i B_j - \frac12 \bvec B^2 \delta_{ij}} \end{equation}
所以
\begin{equation} (\div \ten T)_j = \sum_i \pdv{x_i} \qtySquare{\epsilon_0 \qtyRound{\frac12 \bvec E^2 \delta_{ij} - E_i E_j} + \frac{1}{\mu_0} \qtyRound{\frac12 \bvec B^2 \delta_{ij} - B_i B_j}} \end{equation}
而由张量散度的定义
\begin{equation} (\div \ten T)_j = \sum_i \pdv{x_i} T_{ij} \end{equation}
得到动量流密度张量为
\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \qtyRound{\frac12 \bvec E^2 \delta_{ij} - E_i E_j} + \frac{1}{\mu_0} \qtyRound{\frac12 \bvec B^2 \delta_{ij} - B_i B_j} \end{equation}

   理论上,在 $\ten T$ 上面加上任意一个满足 $\div \ten T' = \bvec 0$ 的张量场,均可以使电磁场动量守恒,但是若规定无穷远处动量流密度为零,则可以证明 ${T'_{ij}} = 0$.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利