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磁场中闭合电流的合力

预备知识 安培力, 斯托克斯定理,静磁场的高斯定理,

   假设空间中有任意磁场 $\bvec B(\bvec r)$, 闭合电流回路 $L$ 中有电流 $I$. 则其受到的安培力可以表示为线积分 $\bvec F = \oint I \dd{\bvec l} \cross \bvec B$. 积分方向为电流方向. 若磁场是匀强磁场, 则立即得到 $\bvec F = I(\oint \dd{\bvec l}) \cross \bvec B = \bvec 0$ 若磁场是任意的, 那么

\begin{equation}\ali{ \bvec F &= \oint_L I \dd{\bvec l} \cross \bvec B = \uvec x I\oint_L \dd{\bvec l} \cross \bvec B \vdot \uvec x + \uvec y I\oint_L \dd{\bvec l} \cross \bvec B \vdot \uvec y + \uvec z I\oint_L \dd{\bvec l} \cross \bvec B \vdot \uvec z\\ &= \uvec x I\oint_L (\bvec B \cross \uvec x) \vdot \dd{\bvec l} + \uvec y I\oint_L (\bvec B \cross \uvec y) \vdot \dd{\bvec l} + \uvec z I\oint_L (\bvec B \cross \uvec z) \vdot \dd{\bvec l}\\ &= \uvec x I \int_\Sigma \curl (\bvec B \cross \uvec x) \vdot \dd{\bvec s} + \uvec y I\int_\Sigma \curl (\bvec B \cross \uvec y) \vdot \dd{\bvec s} + \uvec z I\int_\Sigma \curl (\bvec B \cross \uvec z) \vdot \dd{\bvec s} }\end{equation}
其中用到了斯托克斯定理, $\Sigma $ 是以闭合曲线 $L$ 为边界的曲面.上式中
\begin{equation} \curl (\bvec B \cross \uvec x) = \bvec B (\div \uvec x) + (\uvec x\vdot\bvec\nabla )\bvec B - \uvec x (\div \bvec B) - (\bvec B \vdot\bvec\nabla)\uvec x = (\uvec x\vdot\bvec\nabla)\bvec B = \pdvTwo{\bvec B}{x} \end{equation}
这里用到了 $\uvec x$ 的任意微分为 0 以及 $\div \bvec B = 0$ 的性质. 对称地, 将上式中的 $\uvec x$ 替换成 $\uvec y$ 和 $\uvec z$ , 等式也成立. 所以
\begin{equation} \bvec F = \uvec x I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{x} \vdot \dd{\bvec s} + \uvec y I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{y} \vdot \dd{\bvec s} + \uvec z I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{z} \vdot \dd{\bvec s} \end{equation}
写成分量的形式, 就是
\begin{equation} F_x = I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{x} \vdot \dd{\bvec s} \qquad F_y = I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{y} \vdot \dd{\bvec s} \qquad F_z = I\int_\Sigma \pdvTwo{\bvec B}{z} \vdot \dd{\bvec s} \end{equation}

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