图

盒中的电磁波

   空间中一个电阻不计的金属盒中有电磁波. 金属盒的大小为 $(0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c)$, 电场的波动方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} }}{\partial{t}^{2}} \end{equation}
矢量相等的充要条件是三个分量分别相等
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 E_x = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{E_x}}{\partial{t}^{2}} \qquad \boldsymbol{\nabla}^2 E_y = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{E_x}}{\partial{t}^{2}} \qquad \boldsymbol{\nabla}^2 E_z = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{E_x}}{\partial{t}^{2}} \end{equation}
下面以 $E_x$ 为例, 用分离变量法得出通解. 先令 $E_x = X(x) Y(y) Z(z) T(t)$. 代入上式, 两边同除 $X(x) Y(y) Z(z) T(t)$ 得
\begin{equation} \left. \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \middle/ X + \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} \middle/ Y + \frac{\mathrm{d}^{2}{Z}}{\mathrm{d}{z}^{2}} \middle/ Z = \frac{1}{c^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \middle/ T\right. \end{equation}
由于上式每一项都是一个独立变量的函数, 所以每一项都等于一个常数. 令这些常数为
\begin{equation}\begin{aligned} &\left. \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \middle/ X \right. = -k_x^2 \qquad \left. \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} \middle/ Y \right. = -k_y^2\\ &\left. \frac{\mathrm{d}^{2}{Z}}{\mathrm{d}{z}^{2}} \middle/ Z \right. = -k_z^2 \qquad \frac{1}{c^2} \left. \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \middle/ T \right. = -\omega^2 \end{aligned}\end{equation}
(取负号是因为我们只对三角函数解感兴趣, 指数函数解在这里无关)代入上式, 这些常数满足
\begin{equation} k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \omega ^2 \end{equation}
上面三式的通解是
\begin{equation} \begin{cases} X = C_1 \cos\left(k_x x\right) + C_2 \sin\left(k_x x\right) \\ Y = C_3 \cos\left(k_y y\right) + C_4 \sin\left(k_y y\right) \\ Z = C_5 \cos\left(k_z z\right) + C_6 \sin\left(k_z z\right) \end{cases} \end{equation}
时间函数的解取 $T = C \cos\left(\omega t\right) $ (时间函数的相位不重要) 由理想导体的电磁场边界条件
\begin{equation} E_{//} = 0 \qquad \frac{\partial E_\bot}{\partial n} = 0 \end{equation}
$ \partial E_x/\partial x = 0$ ( $x \to a$ 时); $E_x = 0$ ($y \to b$ 或 $z \to c$ 时). 把上面的通解带入条件, 得
\begin{equation} X = C_1 \cos\left(\frac{n_x \pi}{a} x\right) \qquad Y = C_4 \sin\left(\frac{n_y \pi}{b} y\right) \qquad Z = C_6 \sin\left(\frac{n_z \pi}{c} z\right) \end{equation}
三个变量相乘, 令 $C_1 C_4 C_6 = E_{x0}$, 得
\begin{equation} E_x = E_{x0} \cos\left(\frac{n_x \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{n_y \pi}{b} y\right) \sin\left(\frac{n_z \pi}{c} z\right) \end{equation}
同理对 $E_y$, $E_z$ 分析, 得到电场的三个分量在盒内的分布
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} E_x = E_{x0} \cos\left(\frac{n_x \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{n_y \pi}{b} y\right) \sin\left(\frac{n_z \pi}{c} z\right) \\ E_y = E_{y0} \sin\left(\frac{n_x \pi}{a} x\right) \cos\left(\frac{n_y \pi}{b} y\right) \sin\left(\frac{n_z \pi}{c} z\right) \\ E_z = E_{z0} \sin\left(\frac{n_x \pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{n_y \pi}{b} y\right) \cos\left(\frac{n_z \pi}{c} z\right) \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} T = C \cos\left(\omega t\right) \end{equation}
且满足 $\omega = \pi \sqrt{n_x^2/a^2 + n_y^2/b^2 + n_z^2/c^2}$ 特殊地, 当盒子是立方体的时候, $a = b = c = L$ 时,$\omega = \pi \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}/L $.

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