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自然对数底

预备知识 极限

   微积分中有一个重要的极限,极限值是一个无理数,叫做自然对数底,记为1 $\E$.

\begin{equation} \E \equiv \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 2.71828\dots \end{equation}
这里仅用数值的方法验证该极限2表 1 ).

表1:极限 $\E$ 数值验证
$x$ $10^{-1}$ $10^{-2}$ $10^{-3}$ $10^{-4}$ $10^{-5}$ $10^{-6}$
$(1 + x)^{1/x}$ 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828

   以 $\E$ 为底的对数函数 $\log_{\E} x$ 叫做自然对数, 通常记为

\begin{equation} \ln x \qquad \text{或} \qquad \log x \end{equation}


1. 为了与其他变量区分, 本书使用正体字母表示自然对数底.
2. 注意若 $x$ 从负值趋近 $0$ 时该极限同样成立

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