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位置矢量 位移

预备知识 几何矢量

   位置矢量(位矢)就是从坐标原点指向某一点的矢量,通常记为 $\bvec r$. 当定义了一个坐标系,那么坐标系中一点的位置就可以用位矢表示.

   有时候表示一个关于位置的函数, 通常将位矢 $\bvec r$ 作为自变量. 例如一个物体内密度关于位置的分布可以表示为 $\rho(\bvec r)$. 在直角坐标系中,就相当于 $\rho(x,y,z)$,在球坐标系中就相当于 $\rho(r,\theta,\phi)$ 这么做的好处是书写简洁,而且不需要指定坐标系的种类.

   在物体运动过程中,可以把物体的位矢看做时间的矢量函数 $\bvec r(t)$,则位移 $\Delta \bvec r$ 是一段时间 $[t_1,t_2]$ 内物体初末位矢的矢量差

\begin{equation} \Delta \bvec r = \bvec r(t_2) - \bvec r(t_1) \end{equation}
注意位移只与一段时间内物体的初末位置有关,与路径无关.

预备知识 全微分,矢量的微分, 矢量内积
例1 证明 $\dd{r} = \uvec r \vdot \dd{\bvec r}$

   这个证明的几何意义是, 位矢模长的微小变化等于位矢的微小变化在位矢方向的投影.

   这里以平面直角坐标系中的位矢为例证明. 令位矢 $\bvec r$ 的坐标为 $(x, y)$, 模长为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, 模长的全微分为

\begin{equation} \dd{r} = \pdvTwo{r}{x} \dd{x} + \pdvTwo{r}{y} \dd{y} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \dd{x} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \dd{y} \end{equation}
考虑到 $x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $y/\sqrt{x^2 + y^2}$ 分别为 $\uvec r = \bvec r/r$ 的两个分量, $\dd{x}$ 和 $\dd{y}$ 分别为 $\dd{\bvec r}$ 的两个分量, 根据内积的定义上式变为
\begin{equation} \dd{r} = \uvec r \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}

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