图

直和

预备知识 子空间

定义1 直和

令矢量空间 $V_1$ 和 $V_2$ 为 $V$ 的两个子空间, 且任意 $ \left\lvert v \right\rangle \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中矢量的线性组合, 即
\begin{equation} \left\lvert v \right\rangle = c_1 \left\lvert v_1 \right\rangle + c_2 \left\lvert v_2 \right\rangle \qquad \left\lvert v_1 \right\rangle \in V_1,\ \left\lvert v_2 \right\rangle \in V_2 \end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的直和空间, 用直和运算记为
\begin{equation} V = V_1 \oplus V_2 \end{equation}

   直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的所有矢量可以分为三组, 分别是 $V_1$ 中的矢量, $V_2$ 的矢量, 以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中矢量的线性组合的矢量.

直和空间的基底

   从基底的角度来看, 若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ $(i = 1, \dots, N_2)$, 那么直和空间中的任意矢量可以表示为(系数可以部分或全部为零)

\begin{equation} \left\lvert v \right\rangle = \sum_i a_i \left\lvert \alpha_i \right\rangle + \sum_j b_j \left\lvert \beta_j \right\rangle \end{equation}
也就是说直和空间就是两个子空间的基底合并后张成的空间. 注意合并后的 $N_1 + N_2$ 个矢量之间不一定线性无关, 所以不一定能构成直和空间中的一组基底. 虽然某个 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ 不能表示为其他 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ 的线性组合, 但却可能可以表示为一些 $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ 的线性组合, $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ 亦然.

   如果把这些 “多余” 的矢量全部剔除, 使任意 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ 不能用 $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ 的线性组合表示, 且任意 $ \left\lvert \beta_i \right\rangle $ 不能用 $ \left\lvert \alpha_i \right\rangle $ 的线性组合表示, 那么我们就得到了直和空间中的一组基底, 其维数小于或等于 $N_1 + N_2$, 且大于或等于 $N_1$ 和 $N_2$.

例1 

   若三维空间中有两个不共线的几何矢量 $ \left\lvert v_1 \right\rangle , \left\lvert v_2 \right\rangle $, 它们张成一个平面, 或二维子空间. 另有一个矢量 $ \left\lvert v_3 \right\rangle $, 独自张成一条直线, 即一维空间. 若 $ \left\lvert v_3 \right\rangle $ 落在 $ \left\lvert v_1 \right\rangle , \left\lvert v_2 \right\rangle $ 张成的平面内, 则三个矢量的所有线性组合仍然在该平面内, 所以直和空间仍然是该平面. 但如果 $ \left\lvert v_3 \right\rangle $ 落在平面外, 则三个矢量将会张成整个三维空间, 所以直和就是三维空间.

例2 

   若三维空间中有两个不共线的几何矢量 $ \left\lvert v_1 \right\rangle , \left\lvert v_2 \right\rangle $, 它们张成一个平面(二维子空间) $V_{12}$. 另有 $V_{12}$ 平面外的两个不共线且与的几何矢量 $ \left\lvert v_3 \right\rangle $ 和 $ \left\lvert v_4 \right\rangle $, 张成另一个二维子空间 $V_{34}$. 然而四个矢量中只有三个是线性无关的(容易证明任意三个都线性无关), 所以 $V = V_{12} \oplus V_{34}$ 是三维而不是四维几何矢量空间, 四个矢量中的任意三个都可以作为 $V$ 空间的基底.

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