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行列式

   行列式是线性代数中的一个重要工具,主要用于判断方阵中的所有列向量的线性无关1.行列式运算的结果是一个数,若结果不为零,则线性无关,为零则线性相关. 物理中经常出现的是二阶和三阶行列式, 我们先介绍它们的性质, 然后介绍高阶的情况.

二阶行列式的定义

\begin{equation} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{equation}

三阶行列式的定义

\begin{equation} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \leftgroup{ &a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ - &a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} }\end{equation}

   我们经常把行列式中的数表叫做矩阵, 但本文并不涉及矩阵的性质和运算. 若将矩阵记为 $\mat A$, 则 $\mat A$ 的行列式记为 $\abs{\mat A}$.

几何理解

预备知识 几何矢量, 右手定则
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图1:二阶行列式的绝对值对应平行四边形的面积

   如图 1 , 二阶行列式的绝对值对应平行四边形的面积(可以认为是二维空间中的 “体积”), 若把行列式的两列看成两个几何矢量的坐标, 他们就是平行四边形的两条边. 当 $\bvec v_1$ 逆时针转动2得到 $\bvec v_2$ 时, 行列式的值为正, 反之为负.

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图2:三阶行列式对应平行四面体的体积

   如图 2 , 二阶行列式代表一个平行四面体的体积, 若把行列式的 3 列看成 3 个几何矢量的坐标, 他们就是平行四面体的 3 条边. 若 $\bvec v_1, \bvec v_2, \bvec v_3$ 的位置关系与 $x, y, z$ 轴的关系相似(符合右手定则) 则行列式的值为正, 反之为负.

习题1 

   请证明二阶行列式对应平行四边形的面积, 三阶行列式对应平行四面体的体积

   以上两个结论也可以拓展到更高维的情况, 即 $N$ 阶行列式表示 $N$ 维空间中平行体的体积. 但由于我们还没严格定义高维空间中的体积, 先不展开.

常见性质

   根据行列式的几何理解, 我们容易得到它的一些性质.

定理1 
若行列式中某列全为 0, 其结果等于 0.

   若平行体的某条边长等于 0, 其体积也等于 0.

定理2 
若行列式中的列矢量线性相关, 其结果等于 0.

   二维情况下两矢量线性相关意味着他们共线, 平行四边形面积为 0. 三维情况下线性相关意味着三个矢量共面, 平行四面体体积为 0. 高维情况也可类比.

定理3 
除非行列式中某列全为 0, 或列矢量线性相关, 行列式的值不为 0.
定理4 
矩阵的任意一列乘以常数,行列式的值也要乘以该常数.

   按照几何理解, 将平行体任意一条边长乘以一个常数, 它的体积也需要乘以该常数. 至于定理中的正负号, 可以由各阶行列式的定义证明(留做练习).

定理5 
把矩阵的第 $i$ 列叠加上 “第 $j$ 列乘任意常数”,行列式的值不变.

   以平行四边形为例, 由于其体积是底乘以高, 令 $\bvec v_1$ 为底, $\bvec v_2$ 在垂直于 $\bvec v_1$ 方向的投影为高, 则将 $\bvec v_2$ 变为 $\bvec v_2 + \lambda \bvec v_1$ ($\lambda$ 为常数)后高不变, 所以面积不变. 三维情况和高维情况同理.

定理6 
将行列式的两列交换, 结果取相反数.

   对二阶和三阶行列式, 无论从代数还是几何上都容易得到这个结论. 对于任意阶的情况, 该操作会给每一项增加一个逆序数(见下文), 导致结果取相反数.

定理7 
矩阵转置(将所有 $a_{i,j}$ 与 $a_{j,i}$ 交换)后行其列式的值不变.

   这个定理没有显然的几何理解, 可以直接用代数定义证明(式 1 式 2 , 以及下文的式 5 ). 根据这个定理, 以上凡是涉及到 “行” 的定理和说明, 都可以替换为 “列”, 请读者自行回顾一次.

高阶行列式的定义

   $N$ 阶行列式($N$ 为正整数3)共有 $N!$ 项,每一项都是 $N$ 个矩阵元的乘积4. 每一项中的 $N$ 个矩阵元的行数和列数各不相同, 我们既可以在每一项中按照行标来排序,也可以按照列标,我们选用前者. 排序后,行列式展开后的任意一项可记为(先不考虑前面的 $\pm$ 号)

\begin{equation} \prod_{i=1}^N a_{i,P_n(i)} = a_{1,P_n(1)} \vdot a_{2,P_n(2)} \dots \end{equation}
其中列标 ${P_n}(i)$ 是数列 $1,2 \dots N$ 置换(用某种顺序排列)后的第 $i$ 个数,显然该数列共有 $N!$ 种不同的排列,这里用 $n$ 表示第 $n$ 种排列,也表示行列式展开的第 $n$ 项.

   现在来考虑式 3 前面的 $\pm$ 号.这由 $P_n$ 的逆序数 决定, 逆序数的定义为

\begin{equation} \sum_{i=2}^N \text{满足}\, P_n(i) < P_n(j) \,\, (j < i) \,\text{的个数} \end{equation}
若逆序数为偶数,则前面加正号, 奇数则加负号. 若根据 $P_n$ 对应的符号定义数列 $S_n$ (取值 $1$ 或 $-1$),则 $N$ 阶行列式的公式为
\begin{equation} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{n=1}^{N!} S_n \prod_{i=1}^N a_{i,P_n(i)} \end{equation}


1. 充分必要条件是所有行向量也线性无关
2. 假设转动角度小于 180°, 下同.
3. 一阶行列式定义为 $\abs{a_{11}}=a_{11}$, 虽然几乎从不被使用
4. 高阶行列式的计算较为复杂, 可通过数学软件计算, 详见 Matlab,Mathematica 和 Wolfram Alpha 的计算方法.

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