贡献者： addis
预备知识 几何向量的运算
，导数
，
向量值函数，切线与割线
1. 向量的导数
若几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 只是一个标量 $t$ 的函数，记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 对 $t$ 的导数可记为以下的一种
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~, \qquad \dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }~.
\end{equation}
其定义为（类比
式 4 ）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( t + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)}{\Delta t}~,
\end{equation}
唯一与实函数（$f:\mathbb R \to \mathbb R$）
的导数不同的是，这里的减法是
向量相减，结果还是向量。除以 $\Delta t$ 相当于向量的数乘
$1/\Delta t$，结果也是向量。所以 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $ 也是一个向量关于标量 $t$ 的函数。
从直角坐标的角度来看，$N$ 维向量可以用 $N$ 个实数表示，而两个向量相减则是它们的各个坐标分别相减，易得式 2 得到的向量导函数的各个分量等于原向量函数的各个分量分别求导（详见式 4 ）。
例：速度和加速度（向量），匀速圆周运动的速度 和加速度。
2. 几何意义
向量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 可以看成一条参数曲线，也就是把向量的起点固定在坐标原点，改变参数 $t$ 时，向量终点画出的曲线。
定理 1 参数曲线的切线
参数曲线 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 在任意 $t=t_0$ 处存在不为零的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }(t_0)$，则曲线在该点存在切线，且切线的方向就是导数的方向。
从物理上这是容易理解的，若 $t$ 是时间，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是一点的位置向量，那么 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }(t)$ 就是这点的速度向量，速度向量总是沿运动轨迹的切线方向。
证明思路可以使用式 2 ：若不取极限，对每个具体的 $\Delta t$，分子 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t+\Delta t)- \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 的方向就是曲线的割线的方向。而取极限 $\Delta t\to 0$ 时，若极限存在，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t+\Delta t)$ 无限接近 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$，割线的极限就是切线。注意 $\Delta t\to 0$ 的极限存在要求从正负两个方向趋近于零时极限都存在且相等，所以类似图 3 拐角处的情况不满足该条件。
3. 向量的求导法则
与标量函数一样，由定义不难证明向量函数求导也是线性算符（$c_i$ 为常数）1
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1(t) + c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2(t) + \dots] = c_1 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}}{\mathrm{d}{t}} + c_2 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2}}{\mathrm{d}{t}} \dots~
\end{equation}
直角坐标中，向量函数可以看做三个分量上的标量函数且向量基底不变，所以由上式可得向量求导就是对每个标量函数求导。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ]
= \dot v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \dot v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \dot v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
要特别注意该式成立的条件是三个基底不随 $t$ 改变，这在其他坐标系中并不成立，例如 “极坐标中单位向量的偏导
”。
例：匀速圆周运动的速度 和加速度（求导法）。
向量数乘，内积或叉乘的求导在形式上都与标量函数的情况类似。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [f(t) \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} + f \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
由定义出发，不难证明以上三式，这里以
式 6 为例进行证明。根据内积定义以及标量函数的求导法则
有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z)\\
&= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z \right) + \left(u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
应用举例：动量定理，角动量定理（单个质点）。
4. 向量的高阶导数
与标量函数的高阶导数类似，对某个向量连续求 $N$ 次导数，就得到该函数的 $N$ 阶导数。上面在求圆周运动的加速度时，事实上我们已经计算了位置向量的导数（速度）的导数，即位置向量关于时间的二阶导数。
1. ^ 以下法则虽然以导数为例，但对偏导也同样适用。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。