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求导法则

预备知识 基本初等函数的导数

结论

   如果需要求导的函数可以看做若干个已知导函数的函数(如基本初等函数)经过四则运算或复合得到的, 那么我们可以直接使用一系列求导法则对其求导

四则运算

\begin{equation} [ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x) \end{equation}
\begin{equation} [ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{equation}
\begin{equation} \qtySquare{ \frac{f(x)}{g(x)} }' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2} \end{equation}

复合函数

\begin{equation} f[g(x)] = f'[g(x)]g'(x) \end{equation}
详细见“一元复合函数求导(链式法则)

线性

   对求导而言, 线性是指若干函数线性组合(即把若干个函数分别乘以常数再相加)的求导等于对这些函数先分别求导再进行同样的线性组合. 由于函数加减法属于函数线性组合的两种简单情况, 这里只需要证明求导运算是线性的, 即求导是一种线性运算 即可. 令若干常数为 $c_i$, 若干可导函数为 $f_i(x)$, 根据导数的定义, 这些函数线性组合的导数为

\begin{equation}\ali{ \dv{x}\sum_i c_i f_i(x) &= \lim_{h\to 0} \qtySquare{\sum_i c_i f_i(x+h) - \sum_i c_i f_i(x) }/h\\ & = \sum_i c_i \lim_{h\to 0} [f_i(x+h) - f_i(x)]/h\\ & = \sum_i c_i f_i'(x) }\end{equation}

例1 对函数 $f(x) = 5\sin x + 3x^2$ 求导

   这里的 $f(x)$ 可以看做三角函数 $\sin x$ 函数和幂函数 $x^2$ 的线性组合, 二者都是基本初等函数, 导数分别为 $\cos x$ 和 $2x$, 由于求导是线性运算, 我们只需要对两个函数各自的导函数进行同样的线性组合即可

\begin{equation} f'(x) = 5 \sin' x + 3(x^2)' = 5 \cos x + 3(2x) = 5\cos x + 6x \end{equation}

两函数相乘的导数

   令两函数分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$, 现在求 $f(x) g(x)$ 的导函数. 由导数的定义式 2

\begin{equation} [f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} [f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)]/h \end{equation}
从几何上来看, 我们可以把 $f(x)g(x)$ 看做一个矩形的面积

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