用极值点大致确定函数图像

贡献者：待更新

预备知识　导数与函数的极值

　　许多时候，我们可以通过函数极值点的位置以及种类确定函数的大致图像。

例 1　

　　求以下函数的极值点，并判断该函数的大致图像

\begin{equation} f(x) = a + \frac{b}{2} x^2 - \frac{c}{4} x^4 + \frac{d}{6} x^6 \quad (a,b,c,d >0)~. \end{equation}

图 1：导数 $f'(x)$ 与原函数 $f(x)$

　　先对函数求导，得

\begin{equation} f'(x) = bx - c x^3 + d x^5~. \end{equation}

这是一个 $5$ 次多项式，最多可能有五个零点。但由于多项式只有奇数项，不难解出可能的根。

\begin{equation} bx + c x^3 + d x^5 = x[b + c(x^2) + d(x^2)^2 ]~. \end{equation}

所以其中一个解是 $x = 0$，而 $b + c(x^2) + d (x^2)^2$ 是关于 $x^2$ 的二次方程，当判别式 $\Delta = c^2 - 4bd$ 大于零时，$x^2$ 存在两个大小不等的正根，姑且记为 $x_1^2$ 和 $x_1^2$，$x_1 < x_2$。此时五个根分别为 $0, \pm x_1, \pm x_2$。

\begin{equation} f'(x) = d \cdot x (x^2 - x_2^2) (x^2 - x_2^2) = d \cdot x (x + x_1)(x - x_1)(x + x_1)(x - x_2)~. \end{equation}

由于 $d > 0$，可以大致画出 $f'(x)$ 图像如图 1 （下）。

　　用二阶导数判断分类。若二阶导数为正，则是极小值，若为负，则是极大值，若为零，则是鞍点。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。