图

方向导数

预备知识 全微分, 正交归一基

   先来看一幅等高线图(图 1 ). 令高度 $z$ 为位置的函数 $z = f(\bvec r)$. 这里 $\bvec r$ 是位矢, 即 $f(\bvec r) = f(x,y)$. 当位矢沿着等高线移动时, $z$ 不变,而当位矢沿垂直于等高线的方向移动时, $z$ 变化得最快.位置沿其他方向运动, $z$ 的变化速度介于两者之间.

图
图1:等高线

   那么如何衡量位置向各个方向移动时 $z$ 变化的快慢呢? 我们先规定一个方向 $\uvec n = (n_x,n_y)$( 平面单位矢量,满足 $n_x^2 + n_y^2 = 1$), 然后用方向导数来衡量变化率,其定义如下

\begin{equation} \dvTwo{f}{n} \equiv \lim_{\Delta s \to 0} \frac{f(\bvec r + \uvec n\Delta s) - f(\bvec r)}{\Delta s} = \dvTwo{f}{s} \end{equation}
其中 $\uvec n\Delta s$ 代表沿 $\uvec n$ 方向的微小位移.从几何上来讲,二维函数 $f(\bvec r)$ 表示一个曲面,曲面上某点的方向导数就是曲面在该方向的斜率.

   由“全微分”中的结论

\begin{equation} \dd{f} = \pdvTwo{f}{x} \dd{x} + \pdvTwo{f}{y} \dd{y} \end{equation}
而现在我们往 $\uvec n = (n_x, n_y)$ 方向移动 $\dd{s}$,所以
\begin{equation} \dd{x} = n_x \dd{s} \qquad \dd{y} = n_y \dd{s} \end{equation}
代入上式,得
\begin{equation} \dd{f} = \qtyRound{\pdvTwo{f}{x} n_x + \pdvTwo{f}{y} n_y } \dd{s} \end{equation}
根据导数与微分的关系(也可以通俗地说“两边同除 $\dd{s}$”), 就得到方向导数
\begin{equation} \pdvTwo{f}{n} = \dvTwo{f}{s} = \pdvTwo{f}{x} n_x + \pdvTwo{f}{y} n_y \end{equation}
如果使用平面的正交归一基 $\uvec x, \uvec y$ 写成矢量内积 的形式,就是
\begin{equation} \dvTwo{f}{n} = \qtyRound{ \pdvTwo{f}{x}\uvec x + \pdvTwo{f}{y}\uvec y } \vdot \uvec n \end{equation}
定义二维直角坐标系中的 Del 算符
\begin{equation} \grad = \uvec x\pdv{x} + \uvec y\pdv{y} \end{equation}
其作用在函数上表示
\begin{equation} \grad f = \pdvTwo{f}{x}\uvec x + \pdvTwo{f}{y}\uvec y \end{equation}
则方向导数可以写成相当简洁的形式,即
\begin{equation} \pdvTwo{f}{n} = \grad f \vdot \uvec n \end{equation}

多元函数的方向导数

   通过和以上类似的分析,可以得出 $N$ 元函数 $f(\bvec r) = f(x_1,x_2\dots x_N)$ 在单位方向矢量 $\uvec n = (n_{x1}, n_{x2} \dots n_{x_N})$ 的方向上的微分关系为

\begin{equation} \dd{f} = \pdvTwo{f}{x_1} \dd{x_1} + \pdvTwo{f}{x_2} \dd{x_2}\ldots = \qtyRound{ \pdvTwo{f}{x_1}n_{x1} + \pdvTwo{f}{x_2} n_{x2}\dots } \dd{s} \end{equation}
方向导数为
\begin{equation} \pdvTwo{f}{n} = \dvTwo{f}{s} = \qtyRound{ \pdvTwo{f}{x_1}\uvec x_1 + \pdvTwo{f}{x_2}\uvec x_2\ldots \pdvTwo{f}{x_N}\uvec x_N } \vdot \uvec n = \grad f \vdot \uvec n \end{equation}
形式与式 9 相同.这里定义了 $N$ 维直角坐标系的 Del 算符
\begin{equation} \grad = \uvec x_1\pdvTwo{f}{x_1} + \uvec x_2\pdvTwo{f}{x_2} \dots \uvec x_n\pdvTwo{f}{x_N} \end{equation}

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