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方向导数

预备知识 全微分, 正交归一基

   先来看一幅等高线图(图 1 ). 令高度 $z$ 为位置的函数 $z = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$. 这里 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是位矢, 即 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x,y)$. 当位矢沿着等高线移动时, $z$ 不变,而当位矢沿垂直于等高线的方向移动时, $z$ 变化得最快.位置沿其他方向运动, $z$ 的变化速度介于两者之间.

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图1:等高线

   那么如何衡量位置向各个方向移动时 $z$ 变化的快慢呢? 我们先规定一个方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = (n_x,n_y)$( 平面单位矢量,满足 $n_x^2 + n_y^2 = 1$), 然后用方向导数来衡量变化率,其定义如下

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{n}} \equiv \lim_{\Delta s \to 0} \frac{f( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \Delta s) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\Delta s} = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{s}} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \Delta s$ 代表沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 方向的微小位移.从几何上来讲,二维函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 表示一个曲面,曲面上某点的方向导数就是曲面在该方向的斜率.

   由“全微分”中的结论

\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
而现在我们往 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = (n_x, n_y)$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{s} $,所以
\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = n_x \,\mathrm{d}{s} \qquad \,\mathrm{d}{y} = n_y \,\mathrm{d}{s} \end{equation}
代入上式,得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \left( \frac{\partial f}{\partial x} n_x + \frac{\partial f}{\partial y} n_y \right) \,\mathrm{d}{s} \end{equation}
根据导数与微分的关系(也可以通俗地说“两边同除 $ \,\mathrm{d}{s} $”), 就得到方向导数
\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{s}} = \frac{\partial f}{\partial x} n_x + \frac{\partial f}{\partial y} n_y \end{equation}
如果使用平面的正交归一基 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 写成矢量内积 的形式,就是
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{n}} = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \end{equation}
定义二维直角坐标系中的 Del 算符
\begin{equation} \boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} \end{equation}
其作用在函数上表示
\begin{equation} \boldsymbol\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
则方向导数可以写成相当简洁的形式,即
\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial n} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \end{equation}

多元函数的方向导数

   通过和以上类似的分析,可以得出 $N$ 元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f(x_1,x_2\dots x_N)$ 在单位方向矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = (n_{x1}, n_{x2} \dots n_{x_N})$ 的方向上的微分关系为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,\mathrm{d}{x_1} + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,\mathrm{d}{x_2} \ldots = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} n_{x1} + \frac{\partial f}{\partial x_2} n_{x2}\dots \right) \,\mathrm{d}{s} \end{equation}
方向导数为
\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{s}} = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2\ldots \frac{\partial f}{\partial x_N} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _N \right) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \end{equation}
形式与式 9 相同.这里定义了 $N$ 维直角坐标系的 Del 算符
\begin{equation} \boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2 \frac{\partial f}{\partial x_2} \dots \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _n \frac{\partial f}{\partial x_N} \end{equation}

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