导数与差分

预备知识　泰勒展开

一阶导数

　　我们在导数的定义中已经知道¹

\begin{equation} f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h/2) - f(x - h/2)}{h} \end{equation}

在一些应用（如数值计算）中，我们只能把 $h$ 取一个很小的数值（如 $10^{-10}$）而并非无穷小，这就需要我们估计用上式右边的差分来代替 $f'(x)$ 有多精确．为了估算误差，我们可以将 $f(x \pm h/2)$ 展开为关于 $h$ 的泰勒级数

\begin{equation} f(x \pm h/2) = f(x) \pm f'(x)\frac h2 + \frac12 f''(x) \left(\frac h2 \right) ^2 + \mathcal{O}\left(h^3 \right) \end{equation}

代入式 1 得

\begin{equation} \lim_{h\to 0} \frac{f'(x)h + \mathcal{O}\left(h^3 \right) }{h} = f'(x) + \mathcal{O}\left(h^2 \right) \end{equation}

所以用差分代替一阶导数可以精确到 $h$ 的二阶无穷小 $ \mathcal{O}\left(h^2 \right) $．

二阶导数

　　能否用类似的方法来表示二阶导数呢？根据二阶导数的定义，我们需要用双重极限来表示

\begin{equation} \begin{aligned} f''(x) &= \lim_{l\to 0} \frac{f'(x+l/2) - f'(x - l/2)}{l}\\ &= \lim_{l\to 0}\lim_{h\to 0} \frac{1}{lh} [f(x + l/2 + h/2) - f(x + l/2 - h/2)\\ &\qquad\qquad - f(x - l/2 + h/2) + f(x - l/2 - h/2)] \end{aligned} \end{equation}

但我们希望只用一个极限来表示二阶导数．然而我们不确定 $h$ 是否需要是 $l$ 的高阶无穷小．我们不妨来试试令 $l = h$，即

\begin{equation} f''(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - 2f(x) +f(x-h)}{h^2} \end{equation}

要验证该式成立与否，将 $f(x \pm h)$ 关于 $h$ 做泰勒展开得

\begin{equation} f(x \pm h) = f(x) \pm f'(x) h + \frac12 f''(x) h^2 \pm \frac16 f'''(x) h^3 + \mathcal{O}\left(h^4 \right) \end{equation}

代入式 5 右边得

\begin{equation} \lim_{h\to 0} \frac{f''(x)h^2 + \mathcal{O}\left(h^4 \right) }{h^2} = f''(x) + \mathcal{O}\left(h^2 \right) \end{equation}

这就验证了式 5 的正确性．另外我们得知用差分来近似二阶导数 $f''(x)$ 同样是精确到二阶无穷小 $ \mathcal{O}\left(h^2 \right) $．

1. 以下假设 $f(x)$ 在某区间内处处可导．

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