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离散正弦变换

预备知识 离散傅里叶变换

   由正弦级数($n = 1, 2, 3\dots$)

\begin{equation} f(x) = \sum_n C_n \sinRound{\frac{n\pi}{l}x} \end{equation}
\begin{equation} C_n = \frac2l \int_0^l f(x) \sinRound{\frac{n\pi}{l}x} \dd{x} \end{equation}
不难推出正弦变换
\begin{equation} g(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x) \sinRound{kx} \dd{x} \end{equation}
\begin{equation} f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} g(k) \sinRound{kx} \dd{k} \end{equation}
注意这是一个正半轴的变换, 且正反变换相同.

   正弦变换同样有采样定理, 即若 $g(k)$ 的区间为 $[0, L_k]$, 那么只需要取 $\Delta x = \pi/L_k$ 对 $f(x)$ 采样即可用以下插值公式精确还原 $f(x)$

\begin{equation} f(x) = \sum_{n=1}^\infty f(x_n)\frac{2x_n}{x+x_n}\sinc[\pi(x-x_n)/\Delta x] \end{equation}

离散正弦变换

   把插值公式做正弦变换, 得

\begin{equation} g(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{n=1}^\infty f(x_n) \sinRound{k x_n} \Delta x \end{equation}
现在假设 $f(x)$ 和 $g(k)$ 都只在 $[0, L_x]$ 和 $[0, L_k]$ 内, 所以有
\begin{equation} \Delta x L_k = \Delta k L_x = N\Delta x\Delta k = \frac{L_xL_k}{N} = \pi \end{equation}
可得无损的离散正弦变换为
\begin{equation} g_q = \sum_{p = 1}^{N-1} f_p \sinRound{\pi pq/N} \end{equation}
\begin{equation} f_p = \sum_{q = 1}^{N-1} g_q \sinRound{\pi pq/N} \end{equation}
可以证明变换矩阵是对称的单位正交矩阵, 所以逆矩阵就是矩阵本身.

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