图

极坐标系中单位矢量的偏导

预备知识 极坐标系, 矢量的偏导

   与直角坐标系不同的是, 极坐标系中的 $\uvec r$ 与 $\uvec \theta $ 都是坐标的函数,即 $\uvec r = \uvec r (r,\theta)$, $\uvec \theta = \uvec \theta (r,\theta)$,它们对坐标的偏导如下

\begin{equation} \leftgroup{ \pdvTwo{\uvec r}{r} &= 0\\ \pdvTwo{\uvec r}{\theta} &= \uvec \theta } \qquad \leftgroup{ \pdvTwo{\uvec \theta}{r} &= 0\\ \pdvTwo{\uvec \theta}{\theta} &= - \uvec r } \end{equation}
这是容易理解的,若一个单位矢量绕着它的起点逆时针转动,那么它的终点的速度的方向必然是它本身逆时针旋转 90 度的方向, 而大小等于矢量模长乘以角速度.

证明

   如果令极轴方向的单位矢量为 $\uvec x$, 令其逆时针旋转 $\pi/2$ 的矢量为 $\uvec y$, 则

\begin{gather} \uvec r = \cos \theta \,\uvec x + \sin \theta \,\uvec y\\ \uvec \theta = \cosRound {\theta +\pi/2}\,\uvec x + \sinRound {\theta +\pi/2}\,\uvec y = - \sin \theta \,\uvec x + \cos \theta \,\uvec y \end{gather}
所以
\begin{equation} \leftgroup{ \pdvTwo{\uvec r}{r} &= 0\\ \pdvTwo{\uvec r}{\theta} &= - \sin \theta \,\uvec x + \cos \theta \uvec y = \,\uvec \theta } \quad \leftgroup{ \pdvTwo{\uvec \theta}{r} &= 0\\ \pdvTwo{\uvec \theta}{\theta} &= - \cos \theta \,\uvec x - \sin \theta \,\uvec y = - \uvec r }\end{equation}
事实上,由于 $\uvec r$ 与 $\uvec \theta $ 都只是 $\theta$ 的函数,也可以把偏导符号改成导数符号
\begin{equation} \dvTwo{\uvec \theta}{\theta} = - \uvec r \qquad \dvTwo{\uvec r}{\theta} = \uvec \theta \end{equation}

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