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柱坐标系

预备知识 极坐标系

   若在原有的直角坐标系上定义柱坐标系(图 1 ),可用三个变量 $(r, \theta, z)$ 描述三维空间中任意一点.其中 $r$ 代表该点到 $z$ 轴的距离( $r \geqslant 0$), $\theta$ 代表与 $x$ 轴的夹角,$z$ 与直角坐标系相同. 柱坐标系相当于在极坐标系的基础上增加了一个垂直轴.

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图1:定义柱坐标系

   柱坐标系中的单位矢量如图 1 中的 $\uvec r,\uvec \theta ,\uvec z$ 所示. 其中 $\uvec r, \uvec \theta$ 与极坐标系中的定义相同, $\uvec z$ 是直角坐标系 $z$ 轴的单位矢量, 注意三个单位矢量两两垂直, 构成一组单位正交基底, 任何矢量可以在这组基底上展开. 再次强调, 与直角坐标系不同的是, $\uvec r, \uvec \theta$ 并不是常矢量, 而是坐标 $\theta$ 的函数.

   柱坐标与直角坐标间的转换类比式 2 式 3 即可

\begin{equation} \leftgroup{x &= r\cos \theta \\ y &= r\sin \theta \\ z &= z} \qquad \leftgroup{r &= \sqrt {x^2 + y^2} \\ \theta &= \Arctan(y, x)\\ z &= z} \end{equation}

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