图

柱坐标系中的拉普拉斯方程

预备知识 分离变量法简介,柱坐标的拉普拉斯算符

结论

   柱坐标中的径向方程为贝赛尔方程

\begin{equation} x \dv{x} \qtyRound{x \dvTwo{y}{x}} + (x^2 - m^2)y = 0 \end{equation}
其中 $x = lr$

分离变量法

   柱坐标系中的拉普拉斯方程为

\begin{equation} \frac{1}{r} \pdv{r} \qtyRound{r\pdvTwo{u}{r}} + \frac{1}{r^2} \pdvTwo[2]{u}{\theta} + \pdvTwo[2]{u}{z} = 0 \end{equation}
令 $u = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$, 代入方程得
\begin{equation} \frac{1}{rR}\pdv{r} \qtyRound{r\pdvTwo{R}{r}} + \frac{1}{r^2 \Phi} \pdvTwo[2]{\Phi}{\theta} + \frac{1}{Z} \pdvTwo[2]{Z}{z} = 0 \end{equation}
前两项只是 $r$ 和 $\theta $ 的函数, 第三项只是 $z$ 的函数, 所以它们分别为常数. 令
\begin{equation} \frac{1}{Z} \pdvTwo[2]{Z}{z} = l^2 \end{equation}
则前两项为
\begin{equation} \frac{1}{rR} \pdv{r} \qtyRound{r\pdvTwo{R}{r}} + \frac{1}{r^2 \Phi} \pdvTwo[2]{\Phi}{\theta} = - l^2 \end{equation}

   为了继续分离 $r$ 和 $\theta$, 两边乘以 $r^2$, 则左边第二项只是关于 $\theta$ 的函数, 剩下的部分只是关于 r 的函数. 令

\begin{equation} \frac{1}{\Phi } \dvTwo[2]{\Phi}{\theta} = -m^2 \end{equation}
则剩下的部分为 $m^2$, 即
\begin{equation} r \dv{r} \qtyRound{r\dvTwo{R}{r}} + (l^2 r^2 - m^2)R = 0 \end{equation}

   令 $x = lr$, $y(x) = R(r)$ 则

\begin{equation} x \dv{x} \qtyRound{x\dvTwo{y}{x}} + (x^2 - m^2)y = 0 \end{equation}
到此为止, 三个变量已经完全分离, 各自的微分方程为式 4 式 6 式 7

   $Z(z)$ 的通解为 $C_1\E^{lz} + C_2 \E^{-lz}$, $\Phi(\theta)$ 的通解为 $\E^{\I m\theta}$. 式 7 的解不能用有限的初等函数表示, 式 8 为贝赛尔方程的标准形式(见贝赛尔方程).

   需要注意的是, 贝赛尔函数的阶数 $m$ 是角向方程 $(\dvStarTwo[2]{\Phi}{\theta})/\Phi = -m^2$ 的参数, 而不是径向方程的参数 $l$. 参数 $l$ 被包含在自变量 $x$ 中.  

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