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柱坐标系中的拉普拉斯方程

         

预备知识 分离变量法简介,柱坐标的拉普拉斯算符

结论

   柱坐标中的径向方程为贝赛尔方程

\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0 \end{equation}
其中 $x = lr$

分离变量法

   柱坐标系中的拉普拉斯方程为

\begin{equation} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} = 0 \end{equation}
令 $u = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$, 代入方程得
\begin{equation} \frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = 0 \end{equation}
前两项只是 $r$ 和 $\theta $ 的函数, 第三项只是 $z$ 的函数, 所以它们分别为常数. 令
\begin{equation} \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = l^2 \end{equation}
则前两项为
\begin{equation} \frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} = - l^2 \end{equation}

   为了继续分离 $r$ 和 $\theta$, 两边乘以 $r^2$, 则左边第二项只是关于 $\theta$ 的函数, 剩下的部分只是关于 r 的函数. 令

\begin{equation} \frac{1}{\Phi } \frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = -m^2 \end{equation}
则剩下的部分为 $m^2$, 即
\begin{equation} r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} \right) + (l^2 r^2 - m^2)R = 0 \end{equation}

   令 $x = lr$, $y(x) = R(r)$ 则

\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0 \end{equation}
到此为止, 三个变量已经完全分离, 各自的微分方程为式 4 式 6 式 7

   $Z(z)$ 的通解为 $C_1 \mathrm{e} ^{lz} + C_2 \mathrm{e} ^{-lz}$, $\Phi(\theta)$ 的通解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\theta}$. 式 7 的解不能用有限的初等函数表示, 式 8 为贝赛尔方程的标准形式(见贝赛尔方程).

   需要注意的是, 贝赛尔函数的阶数 $m$ 是角向方程 $( \mathrm{d}^{2}{\Phi}/\mathrm{d}{\theta}^{2} )/\Phi = -m^2$ 的参数, 而不是径向方程的参数 $l$. 参数 $l$ 被包含在自变量 $x$ 中.  

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