图

叉乘的矩阵形式

预备知识 矢量叉乘

   对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $, 令

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
该运算可以看作列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 到列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换. 我们知道线性变换可以用矩阵表示, 所以必存在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $, 满足
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 的坐标为 $(a_x, a_y, a_z)$, 根据叉乘的分量表达式(式 12 ), 易得变换矩阵为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
这是一个反对称矩阵, 即 $A_{ij} = -A_{ji}$.

   同理, 式 1 也可以看作是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{a}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} 0 & b_z & -b_y\\ -b_z & 0 & b_x\\ b_y & -b_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
这恰好与式 3 符号相反.

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