贡献者： addis
对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $，令
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
该运算可以看作列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 到列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换。我们知道线性变换可以用矩阵
表示，所以必存在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 的坐标为 $(a_x, a_y, a_z)$，根据叉乘的分量表达式（
式 12 ），易得变换矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}
0 & -a_z & a_y\\
a_z & 0 & -a_x\\
-a_y & a_x & 0
\end{pmatrix} ~\end{equation}
这是一个
反对称矩阵，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
类似地，也有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{c}} ^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的定义和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 一致。
同理，式 1 也可以看作是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{a}} ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix}
0 & b_z & -b_y\\
-b_z & 0 & b_x\\
b_y & -b_x & 0
\end{pmatrix} ~
\end{equation}
这恰好与
式 3 符号相反。
1. 叉乘矩阵的旋转变换
令 $S'$ 坐标系与 $S$ 坐标系的原点重合，且 $S'$ 坐标系中的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 到 $S$ 系中的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的旋转变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，满足 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} $。令两个几何矢量在 $S$ 系中的坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $，在 $S'$ 中坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$。那么有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{u}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{u}} , \qquad
\boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
由于叉乘的几何定义不依赖于坐标系，那么必定有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} '~.
\end{equation}
如果用 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 来代替 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times $，用 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} '$ 来代替 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ' \boldsymbol\times $，那么上式变为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
这对所有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都成立，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{R}} $，或者
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{U}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ~.
\end{equation}
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