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克莱姆法则

预备知识 矩阵

   克莱姆法则(也译作克拉默法则(Kramer's rule)可以直接用行列式表示出以下线性方程组的各个解. 将线性方程组记为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是已知的 $N$ 行 $N$ 列方阵, $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是已知的 $N$ 维列矢量, $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是未知的 $N$ 维列矢量. 当系数行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $ 不为零时, 方程有唯一解. $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的各个元为
\begin{equation} x_i = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} _i \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \end{equation}
其中矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _i$ 是把矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 得到的矩阵.

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