图

复数

         

预备知识 几何矢量, 三角恒等式, 四象限 Arctan 函数

   我们首先定义一个复数(complex number) 为一对有序实数1. 令 $z$ 为复数, $x, y$ 为实数, 则可以表示为 $z = (x, y)$. 其中 $x,y$ 分别被称为复数 $z$ 的实部(real part)虚部(imaginary part), 可以记为 $ \operatorname{Re} [z]$ 和 $ \operatorname{Im} [z]$. 特殊地, 我们把复数 $(0, 1)$ 称为虚数单位, 用 $ \mathrm{i} $ 表示2. 最后我们定义虚部为零的复数 $(x, 0)$ 就是实数 $x$ 本身. 我们把所有复数的集合记为 $\mathbb C$, 那么全体实数的集合 $\mathbb R$ 就是它的一个子真子集, 即 $\mathbb R \subset \mathbb C$.

   定义两个复数的加法为实部和虚部分别相加

\begin{equation} (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+ x_2, y_1 + x2) \end{equation}
定义复数和实数 $s$ 相乘为(满足交换律)
\begin{equation} s(x, y) = (x, y)s = (sx, sy) \end{equation}
那么任意一个复数可以表示为一个加法和一个乘法 $(x, y) = (x, 0) + y(0, 1)$, 即
\begin{equation} z = x + \mathrm{i} y \end{equation}

复平面

图
图 1:复平面与复数

   由此可以看到, 复数跟二维平面上的几何矢量是十分相似的. 如图 1 , 一个复数可以看做复平面上的一个点(或矢量), 该矢量在复平面的实轴虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部. 复数的定义为对应矢量的模, 即

\begin{equation} \left\lvert z \right\rvert = \sqrt{ \operatorname{Re} [z]^2 + \operatorname{Im} [z]^2} \end{equation}
另外我们把矢量与实轴的夹角称为幅角, 记为 $\arg(z)$. 我们可以通过 $ \operatorname{Arctan} $ 函数(式 1 )计算幅角
\begin{equation} \arg(z) = \operatorname{Arctan} ( \operatorname{Im} [z], \operatorname{Re} [z]) \qquad (\arg z \in (-\pi, \pi]) \end{equation}
也可以通过模和幅角来计算实部与虚部
\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \left\lvert z \right\rvert \cos\left(\arg z\right) \qquad \operatorname{Im} [z] = \left\lvert z \right\rvert \sin\left(\arg z\right) \end{equation}
在 “指数函数(复数)” 中我们将看到, 任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式
\begin{equation} z = A(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta} \end{equation}
其中 $A = \left\lvert z \right\rvert $, $\theta = \arg z$.

基本运算

共轭

   一个复数的共轭等于与其实部相同,虚部相反的复数3

\begin{equation} z ^* = \operatorname{Re} [z] - \mathrm{i} \, \operatorname{Im} [z] \end{equation}
所以共轭运算不改变复数的模, 但将其幅角变为相反数. 在复平面上, 这相当于把一个点关于 $x$ 轴取镜像对称.

加和减

   复数的加减就是把两个复数的实部与虚部分别相加减(为了书写方便, 这里把复数 $z_i$ 的实部虚部记为 $x_i, y_i$)

\begin{equation} z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i} (y_1 \pm y_2) \end{equation}
在复平面上, 这相当于把两个复数对应的矢量进行矢量相加减. 显然, 复数的加法满足交换律, 分配律和结合律.

   特殊地, 将一个复数与其复共轭加减可得

\begin{equation} \operatorname{Re} [z] = \frac12 (z + z ^* ) \qquad \operatorname{Im} [z] = \frac12 (z - z ^* ) \end{equation}

乘法

   两个复数相乘定义为(注意式 1 是该定义的一种特殊情况)

\begin{equation} z_1z_2 = (x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 + \mathrm{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1) \end{equation}

   可以证明, 乘积的模等于两复数模之积, 乘积的幅角等于两复数的幅角之和, 即

\begin{equation} \left\lvert z_1 z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert \left\lvert z_2 \right\rvert \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \end{equation}
证明: 令 $A_i = \left\lvert z_i \right\rvert $, $\theta_i = \arg z_i$, 则
\begin{equation} \begin{aligned} z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \mathrm{i} A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \mathrm{i} A_2 \sin\theta_2)\\ &= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + \mathrm{i} A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\ &= A_1 A_2 [ \cos\left(\theta_1 + \theta_2\right) + \mathrm{i} \sin\left(\theta_1 + \theta_2\right) ] \end{aligned} \end{equation}
其中最后一步用到了两角和公式式 3 . 容易看出, 最后得到的是一个模为 $A_1 A_2$, 幅角为 $\theta_1 + \theta_2$ 的复数. 证毕.

   不难证明复数的乘法满足交换律结合律. 容易证明,一个复数模的平方可以用它和复共轭的乘积表示.

\begin{equation} x^2 + y^2 = \left\lvert z \right\rvert ^2 = z z ^* \end{equation}

除法

   和实数一样, 复数的除法也可以根据乘法定义. 令 $z_1 = z z_2$, 则两个复数相除可以记为

\begin{equation} z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + \mathrm{i} y_1}{x_2 + \mathrm{i} y_2} \end{equation}
但我们希望可以将结果的实部与虚部分开, 于是我们可以在分式上下同时乘以 $z_2 ^* $, 即 $z_1 z_2 ^* = z z_2 z_2 ^* $, 或
\begin{equation} z = \frac{z_1 z_2 ^* }{z_2 z_2 ^* } = \frac{(x_1 + \mathrm{i} y_1)(x_2 - \mathrm{i} y_2)}{(x_2 + \mathrm{i} y_2)(x_2 - \mathrm{i} y_2)} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \mathrm{i} \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \end{equation}
这个步骤叫做分母有理化

   与乘法同理, 两个复数相除相当于把它们的模相除, 幅角相减, 即

\begin{equation} \left\lvert z_1/z_2 \right\rvert = \left\lvert z_1 \right\rvert / \left\lvert z_2 \right\rvert \end{equation}
\begin{equation} \arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \end{equation}

   根据定义易证

定理1 

两个复数进行任意次加减乘除后再取共轭, 等于它们分别取共轭后再进行运算.

   例如

\begin{equation} \frac{2 z_1 z_2}{(z_3 + z_4)^2} = \frac{2 z_1^* z_2^*}{(z_3^* + z_4^*)^2} \end{equation}

   根据式 15 式 10 定理 1 易得

\begin{equation} \left\lvert z_1 + z_2 \right\rvert ^2 = \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + z_1^* z_2 + z_2^* z_1 = \left\lvert z_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert z_2 \right\rvert ^2 + 2 \operatorname{Re} [z_1^* z_2] \end{equation}
在复平面中, 该式可以表示余弦定理, 即计算两矢量之和的模.


1. 一些教材常常先定义虚数单位 $ \mathrm{i} = \sqrt{-1}$ 或 $ \mathrm{i} ^2 = -1$, 这种定义往往不易理解. 我们这里直接将复数定义为服从某种运算规则的实数对, 更能揭示复数的本质.
2. 为了与变量 $i$ 区分, 本书中虚数单位使用正体的 $ \mathrm{i} $.
3. 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭.

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