图

复数

预备知识 几何矢量, 三角恒等式

   我们首先定义虚数单位 $\I$ 满足 $\I^2 = -1$, 则任何一个复数 $z$ 可以表示为1

\begin{equation} z = x + \I y \end{equation}
其中 $x,y$ 为任意实数, 分别被称为复数 $z$ 的实部(real part)虚部(imaginary part), 记为 $\Re[z]$ 和 $\Im[z]$.

图
图1:复平面与复数

   如图 1 , 一个复数可以看做复平面上的一个点(或矢量), 该矢量在复平面的实轴虚轴方向的分量分别等于其实部和虚部. 复数的模长定义为对应矢量的模长, 即

\begin{equation} \abs{z} = \sqrt{\Re[z]^2 + \Im[z]^2} \end{equation}
另外我们把矢量与实轴的夹角称为幅角, 记为 $\arg(z)$. 我们可以通过 $\Arctan$ 函数(式 1 )计算幅角
\begin{equation} \arg(z) = \Arctan(\Im[z], \Re[z]) \qquad (\arg z \in (-\pi, \pi]) \end{equation}
也可以通过模长和幅角来计算实部与虚部
\begin{equation} \Re[z] = \abs{z}\cosRound{\arg z} \qquad \Im[z] = \abs{z}\sinRound{\arg z} \end{equation}
在“指数函数(复数)” 中我们将看到, 任意复数也可以通过欧拉公式表示为以下形式
\begin{equation} z = A(\cos\theta + \I\sin\theta) = A\E^{\I\theta} \end{equation}
其中 $A = \abs{z}$, $\theta = \arg z$.

基本运算

共轭

   一个复数的共轭等于一个实部相同,虚部相反的复数2

\begin{equation} z\Cj = \Re[z] - \I\, \Im[z] \end{equation}
所以共轭运算不改变复数的模长, 但将其幅角变为相反数.

加和减

   复数的加减就是把两个复数的实部与虚部分别相加减(为了书写方便, 这里把复数 $z_i$ 的实部虚部记为 $x_i, y_i$)

\begin{equation} z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + \I (y_1 \pm y_2) \end{equation}
在复平面上, 这相当于把两个复数对应的矢量进行矢量相加减. 显然, 复数的加法满足交换律, 分配律和结合律.

   特殊地, 将一个复数与其复共轭加减可得

\begin{equation} \Re[z] = \frac12 (z + z\Cj) \qquad \Im[z] = \frac12 (z - z\Cj) \end{equation}

乘法

   两个复数相乘定义为(注意应用 $\I^2 = -1$)

\begin{equation} z_1z_2 = (x_1 + \I y_1)(x_2 + \I y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \I (x_1 y_2 + x_2 y_1) \end{equation}
可以证明复数相乘后, 乘积的模长等于两复数模长之积, 乘积的幅角等于两复数的幅角之和, 即
\begin{align} \abs{z_1 z_2} &= \abs{z_1}\abs{z_2}\\ \arg(z_1 z_2) &= \arg(z_1) + \arg(z_2) \end{align}
证明如下: 令 $A_i = \abs{z_i}$, $\theta_i = \arg z_i$, 则
\begin{equation}\ali{ z_1 z_2 &= (A_1 \cos\theta_1 + \I A_1 \sin\theta_1)(A_2 \cos\theta_2 + \I A_2 \sin\theta_2)\\ &= A_1 A_2 (\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + \I A_1 A_2 (\cos\theta_1\sin\theta_2 + \cos\theta_2\sin\theta_1)\\ &= A_1 A_2 [\cosRound{\theta_1 + \theta_2} + \I \sinRound{\theta_1 + \theta_2}] }\end{equation}
其中最后一步用到了两角和公式式 3 . 容易看出, 最后得到的是一个模长为 $A_1 A_2$, 幅角为 $\theta_1 + \theta_2$ 的复数.

   不难证明复数的乘法满足交换律和结合律.

   特殊地, 一个复数乘以其复共轭可得其模长的平方.

\begin{equation} z z\Cj = x^2 + y^2 = \abs{z}^2 \end{equation}

除法

   令 $z_1 = z z_2$, 则两个复数相除可以记为

\begin{equation} z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + \I y_1}{x_2 + \I y_2} \end{equation}
但我们希望可以将结果的实部与虚部分开, 于是我们可以在等式两边同时乘以 $z_2\Cj$, 即 $z_1 z_2\Cj = z z_2 z_2\Cj$, 或
\begin{equation} z = \frac{z_1 z_2\Cj}{z_2 z_2\Cj} = \frac{(x_1 + \I y_1)(x_2 - \I y_2)}{(x_2 + \I y_2)(x_2 - \I y_2)} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \I \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} \end{equation}
这个步骤叫做分母有理化


1. 为了与变量 $i$ 区分, 本书中虚数单位使用正体的 $\I$.
2. 一些教材也使用 $\bar z$ 表示 $z$ 的共轭.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利