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复变函数

预备知识 复数

   复变函数是自变量和因变量都在复数域内取值的函数,通常表示为

\begin{equation} w = f(z) \end{equation}
若把自变量用 $z$ 的实部 $x$ 和虚部 $y$ 表示,因变量表示成实部函数 $u(x,y)$ 和虚部函数 $v(x,y)$ 两个函数相加,则复变函数记为
\begin{equation} w = u(x,y) + \I v(x,y) \end{equation}
例如,复指数函数 被定义为
\begin{equation} w = \E^z = \E^x \cos y + \I \E^x\sin y \end{equation}
由于复变函数的图像比较复杂,没有必要记忆图像,只需要知道一些基本的性质即可.

与实变函数的“兼容性”

   复变函数中很多函数与我们原来我们学过的函数同名,只是自变量的范围从实数拓展到了复数. 例如三角函数,对数函数,指数函数等.这些新函数的定义必须要与原来的函数“兼容”,即当自变量被限制在实数范围内取值时,这些函数与原来的函数相同.

   例如,当复指数函数式 3 的自变量只在实数范围取值(即 $y = 0$) 时,该函数变为我们原来所熟悉的 $\E^x$.

   又如,复正弦函数 可记为

\begin{equation} \sin z = \sinRound{x + \I y} = \sin x\cosh y + \I\cos x\sinh y \end{equation}
其中 $\sinh $ 和 $\cosh $ 是双曲正弦和双曲余弦函数.当 $y = 0$ 时,该函数变为 $\sin x$ 所以从这个意义上来说,与实变函数同名的复变函数只是把函数的定义域扩大了.

复变函数的导数

   由于复变函数相当于两个实数自变量和两个实数因变量的函数,一般情况下求导变得非常复杂.但如果复变函数在某个域上解析,那么可以在该域上进行求导,得到唯一的导数.对于复数域初等基本函数,求导的结果也和实数域的求导一样.

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