图

电容

预备知识 电势 电势能

单个导体的电容量

   一个导体的电容等于电荷量除以电势

例1 导体球的电容

   若规定无穷远处为零势点, 由高斯定理, 半径为 $R$, 带电为 $Q$ 的导体球的电势为 $V = Q/(4\pi\epsilon_0 R)$, 所以其电容为

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = 4\pi\epsilon_0 R \end{equation}

两导体之间的电容量

   若两导体带等量异种电荷1 $\pm Q$, 电势差为 $V$, 则两导体间的电容量同样被定义为

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} \end{equation}
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状, 相对位置以及空间中的电介质分布有关, 而与电荷量无关. 这就要求证明电势差始终与电荷 $Q$ 成正比, 如果我们假设量导体表面的电荷面密度 $\sigma$ 始终与 $Q$ 成正比(证明见, 那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 $Q$ 成正比. 而电势差
\begin{equation} V = \int_+^- \bvec E(r) \cdot \dd{\bvec l} \end{equation}
(式中的 “$\pm$” 分别代表带电荷量为 $\pm Q$ 的导体表面上的一点, 积分路径任意选取)和场强成正比也就是和 $Q$ 成正比. 证毕.

例2 平行板电容器

   电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器, 我们假设空间中存在均匀的电介质, 介电常数为 $\epsilon$ 空间中两块面积为 $S$ 的方形导体板相距为 $d$ 平行放置, 带电量分别是 $\pm Q$, 如果忽略边缘效应(即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场), 由高斯定理,两板之间的电场为 $E = {\sigma}/{\epsilon} = Q/(S\epsilon)$, 电势差为 $V = Ed = Qd/(S\epsilon)$, 所以电容等于

\begin{equation} C = \frac{Q}{V} = \epsilon \frac sd \end{equation}
可见在相同介质中, 平行板电容器的电容量与板的面积成正比, 与距离成反比, 比例系数为 $\epsilon$. 这就是为什么 $\epsilon$ 也被称为电容率. 当不存在电介质时, $\epsilon = \epsilon_0$, 所以 $\epsilon_0$ 被称为真空中的电容率.

例3 同心球壳电容器

   若有两个半径分别为 $r$ 和 $R$ 的同心球壳导体 ($r < R$), 电荷量分别为 $+Q$ 和 $-Q$, 求两球壳间的电容量.

   由高斯定理两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关, 所以两球壳的电势差为

\begin{equation} V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \qtyRound{\frac 1r - \frac 1R} \end{equation}
所以电容量为
\begin{equation} C = \frac QV = \frac{4\pi\epsilon_0 rR}{R - r} \end{equation}
当 $r\to R$ 时, 球壳的面积为 $S = 4\pi R^2$, 两板间距为 $d = R - r$, 则上式的电容趋于平行板电容器的电容.

   对比式 6 式 1 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多, 这也是为什么电路中的电容都有两个极.

电压与电流的关系

   若电容器两端的电压随时间变化为 $V(t)$, 那么如何计算流过电容器的电流2呢? 如果我们定义从 $+Q$ 极流入从 $-Q$ 极流出的电流方向为正方向, 那么 $I = \dvStarTwo{Q}{t}$, 对 $Q = CV$ 两边求时间导数得

\begin{equation} I = C\dvTwo{V}{t} \end{equation}

习题1 

   试证明在交流电路中, 流经电容的电流的相位比电压的相位提前 $\pi/2$.

电容器的能量

   为了改变电容器的电荷量 $Q$ , 我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体, 为了不影响电荷及电场的分布, 从 $Q = 0$ 开始, 我们每次只从 $-Q$ 移动极少量的电荷 $\Delta Q$ 到 $+Q$,移动的过程中外力需要克服电场力做功 $V\Delta Q$, 而 $V$ 又是 $Q$ 的函数, 第 $i$ 次移动前, 电荷量为 $\pm Q_i$, 由定积分 的思想

\begin{equation} W = \int V(Q) \dd{Q} = \int \frac{Q}{C} \dd{Q} = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2 \end{equation}
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比. 注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能, 所以另一种计算上式的方法就是直接使用式 6
\begin{equation} W = \frac12 [QV_+ + (-Q)V_-] = \frac12 QV = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2 \end{equation}


1. 这里的 $Q$ 不一定要求大于零, $\pm$ 号只是一个用于区分两个导体的记号而已, 不代表电荷的正负.
2. 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流”流过电容器“, 而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利