贡献者： addis
1. 单个导体的电容量
一个导体的电容量（capacitance）等于电荷量除以导体电势（导体平衡时为等势体）
\begin{equation}
C = \frac{Q}{V}~.
\end{equation}
要证明任意导体的势能和电荷量成正比，根据
式 21 ，当导体上的电荷密度分布 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 乘以常数 $\lambda$，空间中任意一点的电势同样会乘以 $\lambda$。所以对于某个形状的导体，其电容是固定的。
例 1 导体球的电容
若规定无穷远处为零势点，由高斯定律，半径为 $R$，带电为 $Q$ 的导体球的电势为 $V = Q/(4\pi\epsilon_0 R)$，所以其电容为
\begin{equation}
C = \frac{Q}{V} = 4\pi\epsilon_0 R~.
\end{equation}
2. 两导体之间的电容量
若两导体带等量异种电荷1 $\pm Q$，电势差为 $V$，则两导体间的电容量同样被定义为
\begin{equation}
C = \frac{Q}{V}~.
\end{equation}
现在来证明两导体间的电容只与他们的形状，相对位置以及空间中的电介质分布有关，而与电荷量无关。这就要求证明电势差始终与电荷 $Q$ 成正比，如果我们假设两导体表面的电荷面密度 $\sigma$ 始终与 $Q$ 成正比（证明见，那么由库仑定律可知空间中任意一点的场强也与 $Q$ 成正比。而电势差
\begin{equation}
V = \int_+^- \boldsymbol{\mathbf{E}} (r) \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~.
\end{equation}
（式中的 “$\pm$” 分别代表带电荷量为 $\pm Q$ 的导体表面上的一点，积分路径任意选取）和场强成正比也就是和 $Q$ 成正比。证毕。
注意若无特殊说明，小时百科中电流和电压的方向按照被动符号规定（子节 1 ），即先规定一个正方向，电流延该方向为正，反之为负，电势延正方向下降为正，反之为负。正方向的电流流入电压为正的电容的带正电荷的极板中。
例 2 平行板电容器
图 1：平行板电容器，两板间距为 $d$
电容器中最常见也是最基本的模型就是平行板电容器，我们假设空间中存在均匀的电介质，介电常数为 $\epsilon$。两块面积为 $S$ 的方形导体板相距为 $d$ 平行放置，带电量分别是 $\pm Q$，如果忽略边缘效应（即假设只有两板之间的长方体空间中存在匀强电场），由高斯定律，两板之间的电场为 $E = {\sigma}/{\epsilon} = Q/(S\epsilon)$，电势差为 $V = Ed = Qd/(S\epsilon)$，所以电容等于
\begin{equation}
C = \frac{Q}{V} = \epsilon \frac Sd~.
\end{equation}
可见在相同介质中，平行板电容器的电
容量与板的面积成正比，与距离成反比，比例系数为 $\epsilon$。这就是为什么 $\epsilon$ 也被称为
电容率。当不存在电介质时，$\epsilon = \epsilon_0$，所以 $\epsilon_0$ 被称为真空中的电容率。
例 3 同心球壳电容器
若有两个半径分别为 $r$ 和 $R$ 的同心球壳导体（$r < R$），电荷量分别为 $+Q$ 和 $-Q$，求两球壳间的电容量。
由高斯定律两球壳间的电场只与小球壳的电荷量有关，所以两球壳的电势差为
\begin{equation}
V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac 1r - \frac 1R \right) ~,
\end{equation}
所以电容量为
\begin{equation}
C = \frac QV = \frac{4\pi\epsilon_0 rR}{R - r}~.
\end{equation}
当 $r\to R$ 时，球壳的面积为 $S = 4\pi R^2$，两板间距为 $d = R - r$，则上式的电容趋于平行板电容器的电容。
对比式 7 和式 2 可以发现两个足够近的导体获得的电容量要比单个导体大得多，这也是为什么电路中的电容都有两个极。
3. 电压与电流的关系
若电容器两端的电压随时间变化为 $V(t)$，那么如何计算流过电容器的电流2呢？如果我们同样使用被动符号规定（见子节 1 ），令 $Q$ 和 $V$ 的正负号相同，那么 $I = \mathrm{d}{Q}/\mathrm{d}{t} $，对 $Q = CV$ 两边求时间导数得
\begin{equation}
I = C \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
习题 1
试证明在交流电路中，流经电容的电流的相位比电压的相位提前 $\pi/2$。
4. 电容器的能量
为了改变电容器的电荷量 $Q$，我们需要将电荷从一个导体移动到另一个导体，为了不影响电荷及电场的分布，从 $Q = 0$ 开始，我们每次只从 $-Q$ 移动极少量的电荷 $\Delta Q$ 到 $+Q$，移动的过程中外力需要克服电场力做功 $V\Delta Q$，而 $V$ 又是 $Q$ 的函数，第 $i$ 次移动前，电荷量为 $\pm Q_i$，由定积分 的思想
\begin{equation}
W = \int V(Q) \,\mathrm{d}{Q} = \int \frac{Q}{C} \,\mathrm{d}{Q} = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2~,
\end{equation}
可见电容器的能量与电荷量或电势的平方成正比。注意电容器的能量本质上是导体表面上连续电荷分布的电势能，所以另一种计算上式的方法就是直接使用
式 26 得
\begin{equation}
W = \frac12 [QV_+ + (-Q)V_-] = \frac12 QV = \frac12 \frac{Q^2}{C} = \frac12 CV^2 ~.
\end{equation}
1. ^ 这里的 $Q$ 不一定要求大于零，$\pm$ 号只是一个用于区分两个导体的记号而已，不代表电荷的正负。
2. ^ 我们在讨论电路的时候习惯性地说电流 “流过电容器”，而事实上并没有电荷在电容器内部从一极移动到另一极。
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