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圆锥曲线的光学性质

预备知识 椭圆的三种定义, 抛物线的三种定义, 双曲线的三种定义

   首先,对于本词条涉及到的部分几何概念作出如下规定:

   对两种特殊角的情形作出如下补充:

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图2:零角和平角

   显然,对所有角而言,角平分线与该角的补角平分线互相垂直

椭圆的光学性质

   $F_1$,$F_2$ 是椭圆的两个焦点,$ P $ 是椭圆上任意一点,则 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线 $ PT $ 是椭圆的切线.

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图3:椭圆的光学性质

几何法证明

   作点 $F_2$ 关于直线 $PT$ 的对称点 $F_2'$.由于 $PT$ 是 $\angle F_1PF_2 $ 的补角平分线,则 $F_2'$ 在 $F_1P$ 的延长线上.

   记 $Q$ 是直线 $PT$ 上的任意一点.于是

\begin{equation} F_1Q + F_2Q = F_1Q + F_2'Q \geqslant F_1F_2' = F_1P + F_2P \end{equation}
当且仅当 $P$,$Q$ 重合时,不等式(式 1 )为等式.

   椭圆的一种定义为: 平面上到两焦点的距离之和为定值的点的集合. 显然, 椭圆内任意一点到两焦点距离之和小于该定值, 而椭圆外任意一点到两焦点距离之和大于该定值.

   所以, 直线 $PT$ 上有且仅有点 $P$ 在椭圆上, 其他点都在椭圆外. 这就证明了 $PT$ 是椭圆的切线.

等价的命题

   结合光在同一介质中直线传播的性质,以及光的反射定律 —— 反射角等于入射角,不难推知,上述几何命题等价于物理命题“真空或同种均匀介质中,从椭圆一个焦点处射出的光线经过在椭圆曲线上的反射后,反射光线都汇聚于另一个焦点”.

解析法推导

   记椭圆的直角坐标方程为

\begin{equation} b^2 x^2 +a^2 y^2=a^2 b^2 \end{equation}
其中 $a > b > 0,c>0$ 且 $c^2=a^2-b^2$,椭圆焦距为 $2c$.

   将 $y$ 视作 $x$ 的函数,对方程式 2 等号两边关于 $x$ 求导,可得

\begin{equation} b^2 x +a^2 yy'= 0 \end{equation}

   $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上任意一点,则点 $P$ 处的椭圆切线方程为

\begin{equation} a^2 y_0 \qtyRound{y - y_0} = - b^2 x_0 \qtyRound{x - x_0} \quad \Rightarrow \quad b^2 x_0 x + a^2 y_0 y = a^2 b^2 \end{equation}

   由切线方程可得椭圆在点 $P$ 处的一个法向量(与切线垂直的向量)为 $\bvec n = \qtyRound{b^2 x_0,a^2 y_0}$.

   向量 $\overrightarrow{F_1P}=\qtyRound{x_0 +c,y_0}\; ,\; \overrightarrow{F_2P}=\qtyRound{x_0 -c,y_0}$.

   记两个任意向量($\bvec s$ 和 $\bvec t$)的夹角为 $ < \bvec s,\bvec t>$.则

\begin{equation} \cos < \bvec n,\overrightarrow{F_1P} > =\frac{\bvec n \vdot \overrightarrow{F_1P}}{|\bvec n| \; |\overrightarrow{F_1P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0+c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}} \end{equation}
\begin{equation} \cos < \bvec n,\overrightarrow{F_2P} > =\frac{\bvec n \vdot \overrightarrow{F_2P}}{|\bvec n| \; |\overrightarrow{F_2P}|}= \frac{b^2 x_0 (x_0-c)+a^2 y_0^2}{\sqrt{b^4 x_0^2+a^4 y_0^2}\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}} \end{equation}

   式 5 式 6 作比,并代入式 2 及 $c^2=a^2-b^2$ 进行化简

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\cos < \bvec n,\overrightarrow{F_1P} > }{\cos < \bvec n,\overrightarrow{F_2P} > } &=\frac{a^2 b^2+b^2cx_0}{a^2 b^2-b^2cx_0}\; \sqrt{\frac{(x_0-c)^2+y_0^2}{(x_0+c)^2+y_0^2}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{a^2(x_0-c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}{a^2(x_0+c)^2 +a^2 b^2-b^2 x_0^2}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{c^2 x_0^2 + a^4 - 2a^2 c x_0}{c^2 x_0^2 + a^4 + 2a^2 c x_0}} \\ &=\frac{a^2+cx_0}{a^2-cx_0}\; \sqrt{\frac{(a^2-cx_0)^2}{(a^2+cx_0)^2}} \end{aligned} \end{equation}

   由于点 $P$ 在椭圆上,则 $-a\leqslant x_0 \leqslant a$,则 $a^2-cx_0 > 0$,因此

\begin{equation} \frac{\cos < \bvec n,\overrightarrow{F_1P} > }{\cos < \bvec n,\overrightarrow{F_2P}>}=1 \end{equation}

   所以 $ < \bvec n,\overrightarrow{F_1P} > = < \bvec n,\overrightarrow{F_2P}>$,满足入射角等于反射角的反射定律.由此用解析几何的方法推导出了椭圆的光学性质.

抛物线的光学性质

   $F$ 是抛物线的焦点,$l$ 是准线,$P$ 是抛物线上的任意一点,作 $PP' \perp l$,垂足为 $P'$,则 $\angle FPP' $ 的角平分线 $ PT $ 是抛物线的切线.

   等价命题:真空或同种均匀介质中,从抛物线焦点射出的光线,经过抛物线曲线的反射后,反射光线平行于抛物线对称轴.

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图4:抛物线的光学性质

双曲线的光学性质

   $F_1$,$F_2$ 是双曲线的两个焦点,$P$ 是双曲线上的任意一点,则 $\angle F_1PF_2 $ 的角平分线 $ PT $ 是双曲线的切线.

   等价命题:真空或同种均匀介质中,从双曲线一个焦点射出的光线,经过双曲线的反射后,反射光的反向延长线汇聚于另一个焦点.

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图5:双曲线的光学性质
习题1 证明题

   仿照椭圆光学性质的证明和推导过程,证明抛物线和双曲线的光学性质.

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