图

二体问题综述

预备知识 中心力场问题

   由两个质量相近的普通天体组成的系统,称为“二体系统”.

   一般情况下,两个天体的体积相比距离可以忽略不计,故可将天体视为质点,研究它们的相对位置的变化关系.

   研究两个天体的相对运动,首先需要选取参考点,有两种常用的选择:

   无外力作用下,系统质心的加速度为零,因此由质心为原点建立的参考系是惯性参考系,这也是最常用的参考系.

   研究质点系的运动模式的方法,也有两种常用选择:

   第一种方法最为常见,但是在天体力学和其他力学问题中,很多时候运动微分方程难以求解,因此需综合运用以上两种方法.

相似性

   以质心为原点建立坐标系.记天体 M 的质量为 $m_1$、位置矢量为 $\bvec r_1$,天体 N 的质量为 $m_2$、位置矢量为 $\bvec r_2$.

   在此坐标系中,无外力作用下,由动量定理可得

\begin{equation} \leftgroup{ &m_1 \bvec r_1 + m_2 \bvec r_2 = 0\\ &m_1 \dot{\bvec r}_1 + m_2 \dot{\bvec r}_2=0} \end{equation}

   可见,两天体的位置矢量和速度矢量分别成固定的比例关系,即两天体相对质心的运动模式是相似的,只需研究其中一个天体,就能得出系统的运动规律.

平面性

   记 $\mu=m_1/m_2$,系统对质心的角动量为

\begin{equation} \bvec L =\bvec r_1 \times m_1 \dot{\bvec r}_1+ \bvec r_2 \times \dot{\bvec r}_2 = m_1 (1+\mu)\bvec r_1 \times \dot{\bvec r}_1 \end{equation}
\begin{equation} \dvTwo{\bvec L}{t} = \dot{\bvec r}_1 \times \dot{\bvec r}_1 + \bvec r_1 \times \ddot{\bvec r}_1=\bvec r_1 \times \ddot{\bvec r}_1 \end{equation}

   由万有引力定律可得

\begin{equation} \ddot{\bvec r}_1 = \frac{Gm_2}{|\bvec r_2 - \bvec r_1|^3} \qtyRound{\bvec r_2 - \bvec r_1} = - \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2|\bvec r_1|^3}\bvec r_1 \end{equation}
于是
\begin{equation} \dvTwo{\bvec L}{t} =\bvec r_1 \times \ddot{\bvec r}_1= -\bvec r_1 \times \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2|\bvec r_1|^3}\bvec r_1= 0 \end{equation}
角动量守恒(角动量的方向和模长均守恒).因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面,故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内,并且加速度矢量也在此平面内.因此,二体系统的运动问题是一个平面问题

轨道方程通解

   记 $k=Gm_1m_2$,则天体 M 的拉普拉斯-龙格-楞次矢量(L-R-L 矢量)可以表示为:

\begin{equation} \bvec A_1 = m_1\dot{\bvec r}_1 \times \bvec L - \frac{m_1k}{(1+\mu)|\bvec r_1|}\bvec r_1 \end{equation}
二体系统中,L-R-L 矢量 $\bvec A_1$ 守恒(此处证明略,可参考词条“拉普拉斯-龙格-楞次矢量”).

   矢量 $\bvec A_1$ 与位置矢量 $r_1$ 作內积,并取坐标形式为极坐标

\begin{equation} \begin{aligned} \bvec A_1 \vdot \bvec r_1 &= m_1\dot{\bvec r}_1 \times \bvec L \vdot \bvec r_1 - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1\\ &= m_1\qtyRound{\bvec r_1 \times \dot{\bvec r}_1}\vdot \bvec L - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1 \\ &= \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1 \end{aligned} \end{equation}

图
图1:L-R-L 矢量与位置矢量

   令 $\theta$ 为从矢量 $\bvec A_1$ 转向位置矢量 $\bvec r_1$ 的夹角(极轴与从矢量 $\bvec A_1$ 平行,如图 1 ).则式 7 可化为

\begin{equation} A_1r_1\cos\theta = \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1 \end{equation}
移项整理可得轨道的极坐标方程
\begin{equation} r_1=\frac{p}{1+e \cos\theta} \end{equation}
其中,$p=L^2/(m_1k)$,$e=A_1(1+\mu)/(m_1k)$.

   可见天体 M 的轨迹是圆锥曲线,其偏心率由 L-R-L 矢量 $\bvec A_1$ 决定.天体 N 的轨迹与之相似.当两个天体的质量相差悬殊,则大质量的天体运动范围极小,且系统质心非常靠近大质量天体,两天体的相对运动模式则近似为单质点在引力场中的运动(即开普勒问题,恒星—行星运动模式).

   通过求解天体 M 的运动微分方程式 4 ,也可以得到相同的结果(推导过程参考“开普勒问题”和“轨道方程—比耐公式”).

   在图 2 中展示了二体系统的四种运动轨迹,分别为圆形轨迹、椭圆形轨迹、抛物线形轨迹和双曲线形轨迹.

图
图2:双体系统运动轨迹

   若已知的轨迹上的一点,容易求出天体在该点处的速度矢量.对于天体 M,可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$.在极坐标系中,切向速度可表示为 $v_\tau =r_1\vdot{\theta}$,而上文已证明守恒的系统角动量为

\begin{equation} \bvec L = m_1(1+\mu)\bvec r_1 \times \dot{\bvec r}_1= m_1(1+\mu)r_1^2\dot{\theta}\uvec z \end{equation}
因此,切向速度为
\begin{equation} v_\tau =\frac{L}{m_1(1+\mu)r_1} \end{equation}

   又因为法向速度 $v_n=\dot{\bvec r}_1$,对式 9 求导可得

\begin{equation} v_n =\dvTwo{r_1}{t}=-\frac{ep\dot{\theta}\cos\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\cos\theta}{m_1(1+\mu)r_1^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A_1\cos\theta}{m_1L} \end{equation}

时间参数

   通过对二体系统守恒量的分析,我们发现角动量和 L-R-L 矢量直接决定了轨道的形状和大小,再令极轴正方向与 L-R-L 矢量平行,则轨道方程在坐标系中就有唯一确定的表达式.以上的讨论中,我们避免了求解二阶运动微分方程的繁琐过程,然而美中不足的是,我们还没有建立天体运动的位置—时间关系式.下面就对时间参数展开讨论.

   式 10 通过角动量的定义式建立了轨道的角度参数和时间的关系,可以将该式改写为

\begin{equation} \dvTwo{\theta}{t}=\frac{L}{ m_1(1+\mu)r_1^2} \end{equation}
将轨道方程式 9 代入,并分离变量
\begin{equation} \dd{t}=\frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\frac{\dd{\theta}}{(1+e\cos\theta)} \end{equation}
方程两边积分,可得
\begin{equation} t-t_0 = \frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\int_0^{\theta} \frac{\dd{\theta}}{(1+e\cos\theta)^2} \end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间,习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点,即 $t_0=0$ .等号右边的积分根据轨道形状有不同的表达式,以圆形和抛物线为例
\begin{equation} \int_0^{\theta} \frac{\dd{\theta}}{(1+e\cos\theta)^2} = \leftgroup{ &\theta &e=0\\ &\frac{1}{2}\tanRound{\frac{\theta}{2}}+\frac{1}{6}\tanRound[3]{\frac{\theta}{2}} &e=1 } \end{equation}
对应椭圆和双曲线的积分表达式非常复杂,有需要的读者可查阅标准数学手册积分表.

   由于式 15 中的被积函数在其有效定义域上为正值,因此所得的时间 $t$ 单调递增,即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系.

   综上所述,可以得出结论:二体系统的运动问题在给定的初始条件下具有确定解

习题1 关于系统机械能

   试证明二体系统机械能守恒.

   提示:可以选用以下两种方法

  • 写出天体 M 和 N 的二阶运动微分方程,分别与其速度矢量内积;
  • 系统机械能等于动能与引力势能的和,写出机械能表达式并适当代换,最终可用角动量和 L-R-L 矢量表达系统机械能.
致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利