二体问题综述

                     

贡献者: addis

预备知识 中心力场问题

   由两个质量相近的普通天体组成的系统,称为 “二体系统”。

   一般情况下,两个天体的体积相比距离可以忽略不计,故可将天体视为质点,研究它们的相对位置的变化关系。

   研究两个天体的相对运动,首先需要选取参考点,有两种常用的选择:

   无外力作用下,系统质心的加速度为零,因此由质心为原点建立的参考系是惯性参考系,这也是最常用的参考系。

   研究质点系的运动模式的方法,也有两种常用选择:

   第一种方法最为常见,但是在天体力学和其他力学问题中,很多时候运动微分方程难以求解,因此需综合运用以上两种方法。

1. 相似性

   以质心为原点建立坐标系。记天体 M 的质量为 $m_1$、位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$,天体 N 的质量为 $m_2$、位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$。

   在此坐标系中,无外力作用下,由动量定理可得

\begin{equation} \begin{cases} m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 = 0\\ m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 + m_2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2=0 \end{cases}~. \end{equation}

   可见,两天体的位置矢量和速度矢量分别成固定的比例关系,即两天体相对质心的运动模式是相似的,只需研究其中一个天体,就能得出系统的运动规律。

2. 平面性

   记 $\mu=m_1/m_2$,系统对质心的角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2 = m_1 (1+\mu) \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1~, \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 + \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1~. \end{equation}

   由万有引力定律可得

\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 = \frac{Gm_2}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right) = - \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~, \end{equation}
于是
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \frac{Gm_2}{(1+\mu)^2| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|^3} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1= 0~. \end{equation}
角动量守恒(角动量的方向和模长均守恒)。因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面,故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内,并且加速度矢量也在此平面内。因此,二体系统的运动问题是一个平面问题

3. 轨道方程通解

   记 $k=Gm_1m_2$,则天体 M 的拉普拉斯-龙格-楞次矢量(L-R-L 矢量)可以表示为:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 = m_1\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m_1k}{(1+\mu)| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1|} \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~. \end{equation}
二体系统中,L-R-L 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 守恒(此处证明略,可参考词条 “拉普拉斯-龙格-楞次矢量”)。

   矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 与位置矢量 $r_1$ 作內积,并取坐标形式为极坐标

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 &= m_1\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \times \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1\\ &= m_1 \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1 \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m_1k}{(1+\mu)}r_1 \\ &= \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1~. \end{aligned} \end{equation}

图
图 1:L-R-L 矢量与位置矢量

   令 $\theta$ 为从矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 转向位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 的夹角(极轴与从矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 平行,如图 1 )。则式 7 可化为

\begin{equation} A_1r_1\cos\theta = \frac{L^2-m_1k}{1+\mu}r_1~, \end{equation}
移项整理可得轨道的极坐标方程
\begin{equation} r_1=\frac{p}{1+e \cos\theta}~. \end{equation}
其中,$p=L^2/(m_1k)$,$e=A_1(1+\mu)/(m_1k)$。

   可见天体 M 的轨迹是圆锥曲线,其偏心率由 L-R-L 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _1$ 决定。天体 N 的轨迹与之相似。当两个天体的质量相差悬殊,则大质量的天体运动范围极小,且系统质心非常靠近大质量天体,两天体的相对运动模式则近似为单质点在引力场中的运动(即开普勒问题,恒星—行星运动模式)。

   通过求解天体 M 的运动微分方程式 4 ,也可以得到相同的结果(推导过程参考 “开普勒问题” 和 “轨道方程—比耐公式”)。

   在图 2 中展示了二体系统的四种运动轨迹,分别为圆形轨迹、椭圆形轨迹、抛物线形轨迹和双曲线形轨迹。

图
图 2:双体系统运动轨迹

   若已知的轨迹上的一点,容易求出天体在该点处的速度矢量。对于天体 M,可将速度矢量分解为切向速度 $v_\tau$ 与法向速度 $v_n$。在极坐标系中,切向速度可表示为 $v_\tau =r_1 \boldsymbol\cdot {\theta}$,而上文已证明守恒的系统角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = m_1(1+\mu) \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1= m_1(1+\mu)r_1^2\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}
因此,切向速度为
\begin{equation} v_\tau =\frac{L}{m_1(1+\mu)r_1}~, \end{equation}

   又因为法向速度 $v_n=\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1$,对式 9 求导可得

\begin{equation} v_n = \frac{\mathrm{d}{r_1}}{\mathrm{d}{t}} =-\frac{ep\dot{\theta}\cos\theta}{(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{epL\cos\theta}{m_1(1+\mu)r_1^2(1+e\cos\theta)^2}=-\frac{A_1\cos\theta}{m_1L}~. \end{equation}

4. 时间参数

   通过对二体系统守恒量的分析,我们发现角动量和 L-R-L 矢量直接决定了轨道的形状和大小,再令极轴正方向与 L-R-L 矢量平行,则轨道方程在坐标系中就有唯一确定的表达式。以上的讨论中,我们避免了求解二阶运动微分方程的繁琐过程,然而美中不足的是,我们还没有建立天体运动的位置—时间关系式。下面就对时间参数展开讨论。

   式 10 通过角动量的定义式建立了轨道的角度参数和时间的关系,可以将该式改写为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{L}{ m_1(1+\mu)r_1^2}~. \end{equation}
将轨道方程式 9 代入,并分离变量
\begin{equation} \,\mathrm{d}{t} =\frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2}~ \end{equation}
方程两边积分,可得
\begin{equation} t-t_0 = \frac{(1+\mu)L^3}{ m_1k^2}\int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2}~. \end{equation}
其中 $t_0$ 为初始时间,习惯上取 $\theta=0$ 的时刻为时间的零点,即 $t_0=0$。等号右边的积分根据轨道形状有不同的表达式,以圆形和抛物线为例
\begin{equation} \int_0^{\theta} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{(1+e\cos\theta)^2} = \left\{\begin{aligned} &\theta &(e=0)\\ &\frac{1}{2} \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) +\frac{1}{6} \tan^{3}\left(\frac{\theta}{2}\right) &(e=1) \end{aligned}\right. ~. \end{equation}
对应椭圆和双曲线的积分表达式非常复杂,有需要的读者可查阅标准数学手册积分表。

   由于式 15 中的被积函数在其有效定义域上为正值,因此所得的时间 $t$ 单调递增,即 $\theta$ 与 $t$ 存在一一对应的关系。

   综上所述,可以得出结论:二体系统的运动问题在给定的初始条件下具有确定解

习题 1 关于系统机械能

   试证明二体系统机械能守恒。

   提示:可以选用以下两种方法

  • 写出天体 M 和 N 的二阶运动微分方程,分别与其速度矢量内积;
  • 系统机械能等于动能与引力势能的和,写出机械能表达式并适当代换,最终可用角动量和 L-R-L 矢量表达系统机械能。

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