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对易厄米算符与共同本征矢

预备知识 厄米矩阵,本征函数的简并

交换子

   本词条讨论 $N = 2, \dots$ 维矢量空间 $X$ 上的任意两个厄米算符 $A: X \to X$ 和 $A: X \to X$. 当我们在 $X$ 中确定一组正交归一基底后, 它们可以分别表示为 $N \times N$ 的厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $.

   我们知道一般来说两个矩阵(线性算符)的乘法不满足交换律, 我们说不对易, 但一些情况下我们可以找到满足交换律的算符对, 我们把这样的两个算符(矩阵)称为对易的. 以下我们只讨论对易的厄米算符.

定理1 

对两个有限维厄米算符 $A$ 和 $B$, 以下两个命题互为充分必要条件
  1. 两个有限维厄米算符 $A$ 和 $B$ 互相对易.
  2. 算符 $A$ 和 $B$ 的本征方程存在一整套共同的本征函数 $\psi_i$.

   我们可以分为简并和非简并的情况讨论. 当 $A$ 和 $B$ 的本征问题都不存在简并, 那么这组共同正交归一基底是唯一的.

   若简并, $A$ 的每个本征子空间内, 都能找到 $B$ 本征矢构成的正交归一基底.

证明条件 $2 \to 1$

   设算符 $A$ 和 $B$ 有一组共同的本征函数 $\psi_i$, 则它们同时满足 $A$ 和 $B$ 的本征方程

\begin{equation} \begin{cases} A \psi_i = a_i \psi_i\\ B \psi_i = b_i \psi_i \end{cases} \end{equation}
对任何 $\psi_i$, 都有
\begin{equation} A (B \psi_i) = A (b_i \psi_i) = b_iA \psi_i = a_i b_i \psi_i \end{equation}
\begin{equation} B (A \psi_i) = B (a_i \psi_i) = a_i B \psi_i = a_i b_i \psi_i \end{equation}
所以 $AB \psi_i = BA \psi_i$ 即
\begin{equation} [{A},{B}] = AB - BA = 0 \end{equation}
即两算符对易.证毕.

证明条件 $1 \to 2$

   要证明 $1 \to 2$, 只需证明 $A$ 的一套本征函数都满足 $B$ 的本征方程即可.

算符 $A$ 非简并情况( $B$ 是否简并没关系)

   先解出算符 $A$ 的本征方程 $A \psi_i = a_i \psi_i$, 如果 $A$ 算符不发生简并(见本征函数的简并 )那么本征值各不相同, 且给定一个本征值 $a_i$ 其解只可能是 $\psi_i$ 或者 $\psi_i$ 乘以一个任意复常数(注释:其实也可以再相乘一个算符 $A$ 不涉及的物理量的函数, 例如总能量算符 $H$ 的本征函数还可以再成一个时间因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t}$ ).

   因为算符对易, 有

\begin{equation} A (B \psi_i) = B (A \psi_i) = a_i (B \psi_i) \end{equation}
把式中的 $B \psi_i$ 看成一个新的波函数, 上式说明 $B \psi_i$ 是算符 $A$ 和本征值 $a_i$ 的另一个本征函数. 根据以上分析, $B \psi_i$ 必定是 $\psi_i$ 乘以某个复常数(命名为 $b_i$ ), 即
\begin{equation} B \psi_i = b_i \psi_i \end{equation}
而这正是 $B$ 的本征方程(而 $B$ 也是厄米矩阵, 所以作为本征值 $b_i$ 的数域从复数缩小到实数). 证毕.

算符 $A$ 简并情况

   假设算符 $A$ 的所有本征值为 $a_i$ (各不相同), 任意一个 $a_i$ 有 $n_i$ 重简并. 若 $n_i = 1$, 对应唯一一个 $\psi_i$, 那么根据上文对非简并情况的推理, $\psi_i$ 就已经是 $B$ 的本征函数了. 若 $n_i > 1$, 存在一个 $n_i$ 维希尔伯特子空间, 里面任何一个函数都是 $a_i$ 对应的本征函数, 所以要在子空间中寻找共同本征函数, 只需在子空间中寻找 $B$ 的本征函数即可. 令 $\phi_i$ 为本征值为 $a_i$ 的子空间中的任意函数, 利用对易关系

\begin{equation} A (B \phi_i) = B (A \phi_i) = a_i (B \phi_i) \end{equation}
这条式子说明 $B \phi_i$ 是 $A$ 和 $a_i$ 的一个本征函数, 即 $B \phi_i$ 仍然在 $a_i$ 的简并子空间中.所以 $B$ 对子空间来说是一个闭合的厄米算符, 所以必有 $N$ 个线性无关的本征函数. 证毕.

   以下的内容应该归到厄米算符里面讲(厄米算符在希尔伯特空间中是无穷维的矩阵, 但是如果一个厄米算符在一个子空间中闭合,那么就可以通过以下方法找到 N 个线性无关的本征函数.先在空间中任意选取 $n_i$ 个线性无关的正交本征函数 $\psi_{i1}, \psi_{i2}\dots \psi_{i n_i}$ 作为子空间的基底(本征函数的简并)),并可以用基底 $\psi_{i1}, \psi_{i2}\dots \psi_{i n_i}$ 展开.

   令 $B \psi_{ij} = \sum_{k=1}^{n_i} W_{jk}\psi_{ik}$ ( $W_{jk} = \left\langle \psi_{ij} \right\rvert B \left\lvert \psi_{ik} \right\rangle $, 可以是复数), 则 $B$ 在该子空间可以表示成一个 $n_i$ 维的方形矩阵(记为 $W$ ).

   以 $\psi_{i1}, \psi_{i2} \dots \psi_{i n_i}$ 为子空间的基底, 子空间内任意函数 $\phi = x_1 \psi_{i1} + x_2 \psi_{i2}\dots$ 可以记为 $ \left\lvert \phi \right\rangle = (x_1, x_2, \dots, x_{n_i}) ^{\mathrm{T}} $. 根据算符的矩阵表示 , $B$ 在子空间的矩阵元就是系数 $W_{jk}$,

\begin{equation} W = \begin{pmatrix} W_{11} & \ldots & W_{1 n_i}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{n_i 1} & \ldots & W_{n_i n_i} \end{pmatrix} \end{equation}
所以 $B$ 在子空间范围内的本征方程的矩阵形式就是
\begin{equation} W \left\lvert \phi_k \right\rangle = b_{ik} \left\lvert \phi_k \right\rangle \end{equation}
所以 $B$ 在子空间的本征值就是 $W$ 的本征值, 本征函数就是 $W$ 的本征矢对应的波函数.

   最后要证明的就是 $W$ 矩阵必然存在 $n_i$ 个本征矢.由于 $B$ 是厄米算符, $W$ 必然是厄米矩阵, 而 $n_i$ 维的厄米矩阵必然存在 $n_i$ 个两两正交的复数本征矢和实数本征值(厄米接矩阵).

   综上所述, 对每一个 $n_i$ 重简并的 $a_i$, 都存在 $n_i$ 个两两正交的本征函数作为 $A$, $B$ 算符的共同本征函数.证毕.

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