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经典力学笔记

   拉格朗日方程为

\begin{equation} \dv{t} \pdvTwo{L}{\dot q_i} = \pdvTwo{L}{q_i} \qquad L(q,\dot q, t) = T - V \end{equation}

   正则动量(canonical momentum) $p_i = \pdvStarTwo{L}{\dot q_i}$, 广义力(generalized force) $\pdvStarTwo{L}{q_i}$, 拉氏方程就是广义力与正则动量的牛顿第二定律. 对于任何广义坐标, 拉格朗日方程的形式不变.

   拉格朗日变换(略) 后, 得到哈密顿正则(canonical)方程为

\begin{equation}\leftgroup{ &\dot q_i = \pdvStarTwo{H}{p_i} \\ &\dot p_i = -\pdvStarTwo{H}{q_i} }\end{equation}
其中 $H(p,q) = T + V$.

泊松括号

   对任意物理量 $\omega (q,p)$, 都有

\begin{equation} \dot \omega = \sum_i \qtySquare{ \pdvTwo{\omega}{q_i} \dot q_i + \pdvTwo{\omega}{p_i} \dot p_i } = \sum_i \qtySquare{\pdvTwo{\omega}{q_i} \pdvTwo{H}{p_i} - \pdvTwo{H}{q_i} \pdvTwo{\omega}{p_i} } = \pb{\omega}{H} \end{equation}
量子力学中的对易算符对应泊松括号. 注意该物理量不能显含时间, 即不能是 $\omega (q,p,t)$. 所以若泊松括号消失, 则该物理量守恒! 当显含时间时
\begin{equation} \dot \omega = \pb{\omega}{H} + \pdvTwo{\omega}{t} \end{equation}
对应量子力学中的算符平均值演化方程. 注意若调换泊松括号里面的物理量, 结果取相反数.

坐标变换

   若变换到另一套广义坐标 $q'(q)$

\begin{equation} \dot q'_i = \sum_j \pdvTwo{q'_i}{q_j} \dot q_j \qquad \dot q_i = \sum_j \pdvTwo{q_i}{q'_j} \dot q'_j \end{equation}
拉格朗日量是系统的状态量, 所以 $L(q',\dot q', t) = L[q(q'),\dot q(q',\dot q'), t]$, 所以
\begin{equation} p'_i = \pdvTwo{L}{\dot q'_i} = \sum_k \pdvTwo{L}{\dot q_k} \pdvTwo{\dot q_k}{\dot q'_i} = \sum_k \pdvTwo{q_k}{q'_i} p_k \end{equation}
这就从坐标变换推出了动量变换. 对于任何广义坐标以及对应的正则动量, 哈密顿方程的形式不变(因为拉格朗日方程的形式不变, 哈密顿是由拉格朗日推出来的). 但是还有其他情况也不变, 所有使正则方程成立的坐标叫做正则坐标(canonical coordinates). 下面推导判断正则坐标的一般条件.

   对于不显含时的物理量有

\begin{equation} \dot \omega = \pb{\omega}{H} = \sum_i \qtySquare{\pdvTwo{\omega}{q_i}\pdvTwo{H}{p_i} - \pdvTwo{H}{q_i} \pdvTwo{\omega}{p_i}} \end{equation}
现在若把 $H$ 看成是 $H[q'(q,p),p'(q,p)]$,
\begin{equation} \pdvTwo{H}{p_i} = \sum_k \pdvTwo{H}{q'_k} \pdvTwo{q'_k}{p_i} + \pdvTwo{H}{p'_k} \pdvTwo{p'_k}{p_i} \end{equation}
\begin{equation} \pdvTwo{H}{q_i} = \sum_k \pdvTwo{H}{q'_k} \pdvTwo{q'_k}{q_i} + \pdvTwo{H}{p'_k} \pdvTwo{p'_k}{q_i} \end{equation}

   代入得, 并对 $H$ 的偏微分合并同类项得

\begin{equation} \dot \omega = \pb{\omega}{H} = \sum_k \qtySquare{ \pdvTwo{H}{q'_k} \pb{\omega}{q'_k} + \pdvTwo{H}{p'_k} \pb{\omega}{p'_k}} \end{equation}
注意泊松括号是对 $q,p$ 进行偏微分, 记为 $\{ {}\}_{q,p}$. 分别代入 $\omega = q'_i, p'_i$, 得到转换坐标后的哈密顿方程的一般形式. 为了保持正则方程的形式, 必须要求
\begin{equation} \pb{q'_i}{q'_k}_{q,p} = 0 = \pb{p'_i}{p'_k}_{q,p} \end{equation}
\begin{equation} \pb{q'_i}{p'_k}_{q,p} = \delta_{ik} \end{equation}
这就是判断正则变换的一般条件.

   可以证明, 用任何正则坐标作为泊松括号的角标, 其值都不变. 下面是证明

\begin{equation} \pb{a}{b}_{q,p} = \sum_i \qtyRound{ \pdvTwo{a}{q_i}\pdvTwo{b}{p_i} - \pdvTwo{b}{q_i}\pdvTwo{a}{p_i} } \end{equation}
其中
\begin{equation} \pdvTwo{a}{q_i} \pdvTwo{b}{p_i} = \sum_j \qtyRound{ \pdvTwo{a}{q'_j} \pdvTwo{q'_j}{q_i} + \pdvTwo{a}{p'_j}\pdvTwo{p'_j}{q_i} } \sum_k \qtyRound{\pdvTwo{b}{q'_k}\pdvTwo{q'_k}{p_i} + \pdvTwo{b}{p'_k}\pdvTwo{p'_k}{p_i}} \end{equation}
\begin{equation} \pdvTwo{b}{q_i} \pdvTwo{a}{p_i} = \sum_k \qtyRound{ \pdvTwo{b}{q'_k}\pdvTwo{q'_k}{q_i} + \pdvTwo{b}{p'_k}\pdvTwo{p'_k}{q_i} } \sum_j \qtyRound{\pdvTwo{a}{q'_j}\pdvTwo{q'_j}{p_i} + \pdvTwo{a}{p'_j}\pdvTwo{p'_j}{p_i}} \end{equation}

   现在我们要得到 $\pb{a}{b}_{q',p'} = \sum_i \qtyRound{\pdvTwo{a}{q'_i}\pdvTwo{b}{p'_i} - \pdvTwo{b}{q'_i} \pdvTwo{a}{p'_i}}$, 可以把上两式代入后对 $\pdvTwo{a}{q'}\pdvTwo{b}{p'}$ 和 $\pdvTwo{b}{q'_i}\pdvTwo{a}{p'_i}$ 合并同类项, 得

\begin{equation}\ali{ \pb{a}{b}_{q,p} & = \sum_{jk} \pdvTwo{a}{q'_j} \pdvTwo{b}{p'_k} \sum_i \qtyRound{ \pdvTwo{q'_j}{q_i}\pdvTwo{p'_k}{p_i} -\pdvTwo{p'_k}{q_i}\pdvTwo{q'_j}{p_i} } \\ & -\sum_{jk} \pdvTwo{b}{q'_k}\pdvTwo{a}{p'_j} \sum_i \qtyRound{ \pdvTwo{q'_k}{q_i}\pdvTwo{p'_j}{p_i} - \pdvTwo{p'_j}{q_i}\pdvTwo{q'_k}{p_i} } \\ &= \sum_{jk} \pdvTwo{a}{q'_j} \pdvTwo{b}{p'_k} \pb{q'_j}{p'_k}_{q,p} - \sum_{jk} \pdvTwo{b}{q'_k} \pdvTwo{a}{p'_j} \pb{q'_k}{p'_j}_{q,p} }\end{equation}
代入正则坐标条件, 得
\begin{equation}\ali{ \pb{a}{b}_{q,p} & = \sum_{jk} \pdvTwo{a}{q'_j}\pdvTwo{b}{p'_k}\delta_{jk} - \sum_{jk}\pdvTwo{b}{q'_k} \pdvTwo{a}{p'_j} \delta_{jk} = \sum_j \qtyRound{ \pdvTwo{a}{q'_j}\pdvTwo{b}{p'_j} - \pdvTwo{b}{q'_j}\pdvTwo{a}{p'_j} } \\ &= \pb{a}{b}_{q',p'} }\end{equation}

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