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库仑定律

预备知识 万有引力

   学习万有引力以后, 库仑力就可以轻而易举地类比过来, 所以我们这里不再做重复的推导.

   两个点电荷间的库仑力的矢量表达式为

\begin{equation} \bvec F_{12} = k\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2} \uvec r_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{\abs{\bvec r_2 - \bvec r_1}^3}(\bvec r_2 - \bvec r_1) \end{equation}
其中 $q_1, q_2$ 分别是两个点电荷的电荷量. $k$ 是库仑常数, 但在大学物理中我们几乎不会见到这个符号, 它通常被替换为
\begin{equation} k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.9876\times 10^9 \Si{N m^2/C^2} \end{equation}
$\epsilon_0$ 是真空中的电介质常数(vacuum permittivity), 我们以后会见到

   注意比起万有引力的式 1 式 1 没有负号, $q_1, q_2$ 可以是负数(代表负电荷). 我们容易看出两电荷同号相吸, 异号相斥.

   至于点电荷的概念, 就是在质点的基础上(忽略物体的大小与形状), 增加了一个总电荷量的属性.

电势能

   两个点电荷之间的库仑力产生的势能为

\begin{equation} V(r) = k \frac{q_1 q_2}{r_{12}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}} \end{equation}

例1 

   两个电荷量为 $Q$ 的电荷分别被固定在 $(-c, 0)$ 和 $(c, 0)$ 两点处, 另一质量为 $m$ 电荷量为 $q$ 的点电荷从 $(0, a)$ 延直线移动到 $(0, b)$, 试问它的动能增加了多少?

   解: 由式 3 可知, 点电荷 $q$ 在 $(0, y)$ 处的电势能分别为

\begin{equation} V = \frac{2kQq}{\sqrt{y^2 + c^2}} \end{equation}
所以动能增加等于势能减少, 即
\begin{equation} \Delta E_k = V_a - V_b = 2kQq \qtyRound{\frac{1}{\sqrt{a^2 + c^2}} - \frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}}} \end{equation}

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