图

选择的展开定理

预备知识 排列组合

   证明 $C_{a + b}^n = \sum_i C_a^i C_b^{n - i}$

命题

   对正整数 $a,b,n$:

  1. 若 $a,b \geqslant n$, 则 $C_{a + b}^n = \sum\limits_{i = 0}^n C_a^iC_b^{n - i} = \sum\limits_{i = 0}^n C_a^{n - i} C_b^i$.
  2. 若 $a \geqslant n$, $b < n$, 则 $C_{a + b}^n = \sum\limits_{i = n - b}^n C_a^iC_b^{n - i} = \sum\limits_{i = 0}^b C_a^{n - i} C_b^i$
  3. 若 $a + b \geqslant n$, 且 $a < n$, $b < n$. 则 $C_{a + b}^n = \sum\limits_{i = n - b}^a C_a^i C_b^{n - i} = \sum\limits_{i = n - a}^b C_a^{n - i} C_b^i$

证明

   假设有编了号的 $a+b$ 个小球. 不分顺序抓取 $n$ 个, 求总共有几种情况(用 $N$ 表示).

   方法 1:根据定义, 有 $N = C_{a + b}^n$ 种情况.

   方法 2:先把球分成 $A$, $B$ 两组, 分别有 $a$ 个和 $b$ 个. 如果在 $A$ 组中抽取 $i$ 个球(有 $C_a^i$ 种情况), 在 $B$ 组中只能抽取 $n - i$ 个(有 $C_b^{n - i}$ 种情况), 所以一个 $i$ 对应 $C_a^i C_b^{n - i}$ 种情况. 所有可能的 $i$ 一共有 $N = \sum_i C_a^i C_b^{n - i}$ 种情况.

   由于这个问题只有一个答案, 所以有 $C_{a + b}^n = \sum_i C_a^i C_b^{n - i}$.

   但 $i$ 的范围具体从多少取到多少, 由 $a$, $b$ 是否大于 $n$ 来决定. 当 $a,b$ 都大于 $n$ 时, $i$ 可以从 0 取到 $n$, 如果其中至少有一个小于 $n$, 那么 $i$ 的取值不能使 $C$ 的上标大于下标.

   证毕.

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