图

离心力

预备知识 匀速圆周运动的加速度,惯性力, 连续叉乘的化简

   令参考系 $abc$ 和 $xyz$ 的 $c$ 轴和 $z$ 轴始终重合.其中 $xyz$ 是惯性系, $abc$ 以恒定的角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴逆时针转动.求 $abc$ 系中一个质量为 $m$ 的静止质点所受的惯性力(离心力).

   令质点的坐标 $(a,b,c)$ 离 $c$ 轴的距离为 $r_\bot = \sqrt{a^2 + b^2}$, 对应的径向矢量为 $\bvec r_\bot = (a,b,0)\Tr$. 在 $xyz$ 系中,质点做匀速圆周运动,相对于 $xyz$ 系的加速度(用 $abc$ 系的坐标表示)为

\begin{equation} \bvec a_{xyz} = - \omega ^2 \bvec r_\bot = - \omega ^2 \pmat{a\\b\\0}_{abc} \end{equation}
质点相对于 $abc$ 系静止,相对加速度为零
\begin{equation} \bvec a_{abc} = \bvec 0 \end{equation}
所以由惯性力 中的结论,惯性力为
\begin{equation} \bvec f = m(\bvec a_{abc} - \bvec a_{xyz}) = \omega^2\bvec r_\bot = m\omega ^2\pmat{a\\b\\0}_{abc} \end{equation}
注意离心力向外,与直觉相符. 注意这个结论只适用于质点相对于 $abc$ 系静止的情况,若有相对运动,则惯性力除了离心力,还会有一项科里奥利力

   若转轴取任意方向 $\uvec\omega$, 由式 8

\begin{align} &\bvec a_{xyz} = \bvec\omega\cross (\bvec\omega\cross\bvec r)\\ &\bvec f = -m\bvec\omega\cross (\bvec\omega\cross\bvec r) \end{align}

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