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中心力场问题

预备知识 极坐标系, 二体系统, 角动量守恒(单个质点), 机械能守恒(单个质点)

   中心力场问题 可以表述为: 在惯性系中, 若一个质点只受来自某固定点的力

\begin{equation} \bvec F(\bvec r) = F(r) \uvec r \end{equation}
求质点的运动规律.

   首先注意力场 $\bvec F(\bvec r)$ 是一个保守场(见式 3 ), 所以中心力场问题也可以用势能函数 $V(r)$ 来描述(式 7 ), 且有

\begin{equation} F(r) = -\dvStarTwo{V(r)}{r} \end{equation}

平面性

   质点的角动量为

\begin{equation} \bvec L =\bvec r \times m \dot{\bvec r} \end{equation}
对角动量 $\bvec L$ 关于时间 $t$ 求导
\begin{equation} \dvTwo{\bvec L}{t} =m \dot{\bvec r} \times \dot{\bvec r} +m \bvec r \times \ddot{\bvec r}=m \bvec r \times \ddot{\bvec r} \end{equation}

   由式 1 可得

\begin{equation} \ddot{\bvec r} = \frac{F(r)}{m}\uvec r \end{equation}
于是
\begin{equation} \dvTwo{\bvec L}{t} =m \bvec r \times \ddot{\bvec r}= r \uvec r \times F(r)\uvec r=0 \end{equation}
角动量守恒(角动量的方向和模长均守恒).

   因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面,故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内,并且加速度矢量也在此平面内.因此,质点在中心力场中的运动是一个平面问题

极坐标中的运动方程

   由于式 1 中的 $F(r)$ 与位置矢量 $\bvec r$ 的方向无关, 在极坐标系 中处理中心力场问题通常比较简单. 极坐标中质点的速度和加速度 分别为

\begin{align} \dot{\bvec r} &= \dot r \uvec r + r\dot\theta\uvec\theta\\ \ddot{\bvec r} &= (\ddot{r} - r \dot\theta^2)\uvec r + \frac 1r \dv{t} (r^2\dot\theta)\uvec \theta \end{align}
式 7 得质点的角动量在极坐标中的表示为
\begin{equation} \bvec L = \bvec r \cross (m \dot{\bvec r}) = mr \uvec r \cross (\dot r \uvec r + r\dot\theta \uvec\theta) = mr^2\dot \theta \uvec z \end{equation}
其中 $\uvec z$ 是垂直于极坐标平面的单位矢量(这个符号来自柱坐标系).

   另外在 $\uvec r$ 方向可得

\begin{equation} m(\ddot{r} - r \dot\theta^2) = F(r) \end{equation}
使用式 9 消去式 10 中的 $\dot\theta$, 得
\begin{equation} m\ddot r = F(r) + \frac{L^2}{mr^3} \end{equation}
该式被称为中心力场问题的径向方程

一维等效势能与稳定轨道

   由于式 11 中不含 $\theta$, 我们可以将其等效为一个一维问题, 等号右侧看做等效力 $F'(r)$. 求等效力的反原函数可得一维等效势能

\begin{equation} V'(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2} \end{equation}
自然地, 我们可以利用等效一维问题中的能量守恒列出 $r(t)$ 的一阶微分方程1
\begin{equation} E = \frac 12 m\dot r^2 + V'(r) = \frac 12 m\dot r^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \end{equation}
\begin{equation} \dot r = \sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]} \end{equation}
这是一个可分离变量的一阶常微分方程, 分离变量然后两边积分得
\begin{equation} t = \int_{r_0}^{r} \frac{\dd{r}}{\sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]}} \end{equation}
积分后即可逆向得到 $r(t)$.

   从一维等效势能还可以判断轨道的稳定性, 我们来看一个例子

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图1:万有引力的一维等效势能
例1 万有引力

   对万有引力, $V(r) = -GMm/r$, 等效势能的大致图像如图 1 .注意 $V'(r)$ 的形状还取决于常数 $L$, 但根据“用极值点确定函数图像”, 曲线总存在一个最小值, 且 $\lim\limits_{r\to\infty}V'(r) = 0$, $\lim\limits_{r\to 0} V'(r) = +\infty$.

   若质点具有能量 $E_2 > 0$, 由图可得这个质点不可能一直绕力心旋转, 而是从无穷远处入射, 在距离 $r_0$ 时开始远离力心, 最终回到无穷远. 若质点具有能量 $E_1 < 0$, 由图可知 $r$ 始终在 $[r_1, r_2]$ 区间内往返变动(在“开普勒问题”中, 我们将会知道 $E_1$ 和 $E_2$ 分别对应椭圆轨道和双曲线轨道). 特殊地, 当质点能量等于 $V'(r)$ 的最小值时, 它与力心的距离将保持不变, 即轨道为圆形. 若给处于圆形轨道的质点一个扰动, $r$ 将在曲线最低点附近振动, 且振动频率由最低点处曲线的二阶导数决定, 我们将这种不会因为扰动而彻底改变的轨道叫做稳定轨道.

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图2:四次方反比力的一维等效势能
例2 四次方反比力

   作为一个不稳定轨道的例子, 我们来考察 $V(r) = -k/r^3$, 其中 $k$ 是一个大于零的常数. 等效势能的大致图像如图 2 . 若质点的能量大于 $V'(r_0)$, 则质点会从无穷远入射, 穿过力心然后回到无穷远, 若质点的能量小于零, 它将被困在 $r < r_1$ 的圆形势阱内并不断穿过力心. 若质点的能量恰好为 $V'(r_0)$, 那么它将以 $r_0$ 为半径做圆周运动, 然而任何微小的扰动都会使其从势能曲线顶端向两侧滑落, 从而彻底改变轨道的性质. 我们说这样的轨道是不稳定的.

   我们已知二体系统 的运动可以等效为单个质点的中心力场问题, 所以在质点的中心力场问题的讨论中, 只需把质点质量 $m$ 和位矢 $\bvec r$ 分别替换成约化质量 $\mu$ 和相对矢量 $\bvec R$ 即可拓展到二体系统.


1. 式 13 可以在极坐标系中直接推出, 先列出 $E = m\bvec v^2/2 + V(r)$, 再将式 7 代入, 并用式 9 消去 $\dot\theta$ 即可.

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